Algèbre Exemples

$\frac{4}{x} - \frac{x}{8} = 0$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 8, 1$

Étape 1.2

Comme $x, 8, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 8, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}$ .

Étape 1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.5

Les facteurs premiers pour $8$ sont $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 1.5.1

$8$ a des facteurs de $2$ et $4$ .

$2 \cdot 4$

Étape 1.5.2

$4$ a des facteurs de $2$ et $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Étape 1.6

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.7

Le plus petit multiple commun de $1, 8, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Étape 1.8

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 1.8.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 2$

Étape 1.8.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$8$

Étape 1.9

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 1.10

Le plus petit multiple commun de $x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x$

Étape 1.11

Le plus petit multiple commun pour $x, 8, 1$ est la partie numérique $8$ multipliée par la partie variable.

$8 x$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{4}{x} - \frac{x}{8} = 0$ par $8 x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4}{x} - \frac{x}{8} = 0$ par $8 x$ .

$\frac{4}{x} (8 x) - \frac{x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 \frac{4}{x} x - \frac{x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $8 \frac{4}{x}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Associez $8$ et $\frac{4}{x}$ .

$\frac{8 \cdot 4}{x} x - \frac{x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$\frac{32}{x} x - \frac{x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Étape 2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{32}{x} x - \frac{x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Étape 2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$32 - \frac{x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Étape 2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{8}$ dans le numérateur.

$32 + \frac{- x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Étape 2.2.1.4.2

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$32 + \frac{- x}{8} (8 (x)) = 0 (8 x)$

Étape 2.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$32 + \frac{- x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Étape 2.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$32 - x \cdot x = 0 (8 x)$

Étape 2.2.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$32 - (x^{1} x) = 0 (8 x)$

Étape 2.2.1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$32 - (x^{1} x^{1}) = 0 (8 x)$

Étape 2.2.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$32 - x^{1 + 1} = 0 (8 x)$

Étape 2.2.1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$32 - x^{2} = 0 (8 x)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez $0 (8 x)$ .

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$32 - x^{2} = 0 x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$32 - x^{2} = 0$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $32$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 32$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 32$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 32$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 32}{- 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 32}{- 1}$

Étape 3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 32}{- 1}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $- 32$ par $- 1$ .

$x^{2} = 32$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{32}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{32}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \pm \sqrt{16 (2)}$

Étape 3.4.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Étape 3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 4 \sqrt{2}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4 \sqrt{2}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4 \sqrt{2}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4 \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 4 \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$x = 5.65685424 \dots, - 5.65685424 \dots$