Algèbre Exemples

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) \div (x + 2)$

Étape 1

Pour calculer le reste, commencez par diviser les polynômes.

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Étape 1.1

Développez $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x^{2} + x + 1) - 1 (x^{2} + x + 1)}{x + 2}$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x^{2} + x) + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{x + 2}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{x + 2}$

Étape 1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Étape 1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Étape 1.1.6

Remettez dans l’ordre $x$ et $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Étape 1.1.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Étape 1.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Étape 1.1.9

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Étape 1.1.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Étape 1.1.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Étape 1.1.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + x^{1 + 1} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Étape 1.1.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Étape 1.1.14

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Étape 1.1.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1}{x + 2}$

Étape 1.1.16

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} + x - 1 x - 1}{x + 2}$

Étape 1.1.17

Soustrayez $1 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - 1 x - 1}{x + 2}$

Étape 1.1.18

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x^{3} + x - 1 x - 1}{x + 2}$

Étape 1.1.19

Soustrayez $1 x$ de $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 - 1}{x + 2}$

Étape 1.1.20

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x + 2}$

$\frac{x^{3} - 1}{x + 2}$

Étape 1.2

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

Étape 1.3

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Étape 1.4

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 1.5

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2}$

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 1.6

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$

Étape 1.7

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 1.8

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 1.9

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 1.10

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} - 4 x$

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 1.11

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$

Étape 1.12

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$

Étape 1.13

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$

Étape 1.14

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

					$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$
								+	$4 x$	+	$8$

Étape 1.15

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x + 8$

					$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$
								-	$4 x$	-	$8$

Étape 1.16

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

					$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$
								-	$4 x$	-	$8$
										-	$9$

Étape 1.17

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x^{2} - 2 x + 4 - \frac{9}{x + 2}$

$x^{2} - 2 x + 4 - \frac{9}{x + 2}$

Étape 2

Comme le dernier terme dans l’expression obtenue est une fraction, le numérateur de la fraction est le reste.

$- 9$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$