Algèbre Exemples

$3 e^{2 x} - 8 = 2 e^{x}$

Étape 1

Soustrayez $2 e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$3 e^{2 x} - 8 - 2 e^{x} = 0$

Étape 2

Réécrivez $e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

$3 {(e^{x})}^{2} - 8 - 2 e^{x} = 0$

Étape 3

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$3 u^{2} - 8 - 2 u = 0$

Étape 4

Déplacez $- 8$ .

$3 u^{2} - 2 u - 8 = 0$

Étape 5

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ et dont la somme est $b = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 u$ .

$3 u^{2} - 2 u - 8 = 0$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $4$ plus $- 6$

$3 u^{2} + (4 - 6) u - 8 = 0$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} + 4 u - 6 u - 8 = 0$

Étape 5.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} + 4 u) - 6 u - 8 = 0$

Étape 5.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (3 u + 4) - 2 (3 u + 4) = 0$

Étape 5.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u + 4$ .

$(3 u + 4) (u - 2) = 0$

Étape 5.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 u + 4 = 0$

$u - 2 = 0$

Étape 5.3

Définissez $3 u + 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez $3 u + 4$ égal à $0$ .

$3 u + 4 = 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $3 u + 4 = 0$ pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 u = - 4$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 u = - 4$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 u = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 5.3.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 4}{3}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{4}{3}$

Étape 5.4

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 5.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 u + 4) (u - 2) = 0$ vraie.

$u = - \frac{4}{3}, 2$

Étape 6

Remplacez $u$ par $- \frac{4}{3}$ dans $u = e^{x}$ .

$- \frac{4}{3} = e^{x}$

Étape 7

Résolvez $- \frac{4}{3} = e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = - \frac{4}{3}$ .

$e^{x} = - \frac{4}{3}$

Étape 7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{4}{3})$

Étape 7.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- \frac{4}{3})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 7.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = - \frac{4}{3}$

Aucune solution

Étape 8

Remplacez $u$ par $2$ dans $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Étape 9

Résolvez $2 = e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Étape 9.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Étape 9.3

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Étape 9.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Étape 9.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (2)$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (2)$

Forme décimale :

$x = 0.69314718 \dots$