Algèbre Exemples

$9^{6} = x^{3} \cdot 9^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x^{3} \cdot 9^{3} = 9^{6}$ .

$x^{3} \cdot 9^{3} = 9^{6}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $x^{3} \cdot 9^{3} = 9^{6}$ par $9^{3}$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $x^{3} \cdot 9^{3} = 9^{6}$ par $9^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 9^{3}}{9^{3}} = \frac{9^{6}}{9^{3}}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $9^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} \cdot 9^{3}}{9^{3}} = \frac{9^{6}}{9^{3}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{9^{6}}{9^{3}}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $9^{6}$ et $9^{3}$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $9^{3}$ à partir de $9^{6}$ .

$x^{3} = \frac{9^{3} \cdot 9^{3}}{9^{3}}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$x^{3} = \frac{9^{3} \cdot 9^{3}}{9^{3} \cdot 1}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} = \frac{9^{3} \cdot 9^{3}}{9^{3} \cdot 1}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} = \frac{9^{3}}{1}$

Étape 2.3.1.2.4

Divisez $9^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = 9^{3}$

Étape 2.3.2

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$x^{3} = 729$

Étape 3

Soustrayez $729$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 729 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Réécrivez $729$ comme $9^{3}$ .

$x^{3} - 9^{3} = 0$

Étape 4.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 9$ .

$(x - 9) (x^{2} + x \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Déplacez $9$ à gauche de $x$ .

$(x - 9) (x^{2} + 9 x + 9^{2}) = 0$

Étape 4.3.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$(x - 9) (x^{2} + 9 x + 81) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 9 = 0$

$x^{2} + 9 x + 81 = 0$

Étape 6

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 7

Définissez $x^{2} + 9 x + 81$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x^{2} + 9 x + 81$ égal à $0$ .

$x^{2} + 9 x + 81 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x^{2} + 9 x + 81 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 9$ et $c = 81$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 81)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 81$ .

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Étape 7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 324}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.3

Soustrayez $324$ de $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 243}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.4

Réécrivez $- 243$ comme $- 1 (243)$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 243}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (243)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.7

Réécrivez $243$ comme $9^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.3.1.7.1

Factorisez $81$ à partir de $243$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{81 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.7.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{9^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot (9 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.9

Déplacez $9$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.4.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 81$ .

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Étape 7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 324}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.3

Soustrayez $324$ de $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 243}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.4

Réécrivez $- 243$ comme $- 1 (243)$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 243}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (243)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.7

Réécrivez $243$ comme $9^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.4.1.7.1

Factorisez $81$ à partir de $243$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{81 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.7.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{9^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot (9 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.9

Déplacez $9$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.4.4

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $9 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 9 - (- 9 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 7.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (9) - (- 9 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (9 - 9 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 7.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{9 - 9 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 81$ .

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Étape 7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 324}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.3

Soustrayez $324$ de $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 243}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.4

Réécrivez $- 243$ comme $- 1 (243)$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 243}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (243)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.7

Réécrivez $243$ comme $9^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.5.1.7.1

Factorisez $81$ à partir de $243$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{81 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.7.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{9^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot (9 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.9

Déplacez $9$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 9 - 9 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.5.4

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 9 - 9 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 9 - (9 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 7.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (9) - (9 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (9 + 9 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 7.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{9 - 9 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 9) (x^{2} + 9 x + 81) = 0$ vraie.

$x = 9, - \frac{9 - 9 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$