Algèbre Exemples

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x \geq 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + 8 x = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $8 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0$

Étape 2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Étape 2.2.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Étape 2.2.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Étape 2.2.1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 4 \cdot 4 + 8$

Étape 2.2.1.3.4

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$8 - 16 + 8$

Étape 2.2.1.3.5

Soustrayez $16$ de $8$ .

$- 8 + 8$

Étape 2.2.1.3.6

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$0$

Étape 2.2.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 8}{x - 2}$

Étape 2.2.1.5

Divisez $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ par $x - 2$ .

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Étape 2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$8$

Étape 2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$

Étape 2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$

Étape 2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

Étape 2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

Étape 2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Étape 2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x + 8$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Étape 2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$
										$0$

Étape 2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 2 x - 4$

Étape 2.2.1.6

Écrivez $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ comme un ensemble de facteurs.

$x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Étape 4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6

Définissez $x^{2} - 2 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x^{2} - 2 x - 4$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Étape 6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Étape 6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Étape 6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Étape 6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Étape 6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 2, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1 - \sqrt{5}$

$1 - \sqrt{5} < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$

$x > 1 + \sqrt{5}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1 - \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1 - \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{4} - 4 {(- 4)}^{3} + 8 (- 4) \geq 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $480$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1 - \sqrt{5} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 - \sqrt{5} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 8 (- 1) \geq 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $- 3$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

${(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 8 (1) \geq 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 1 + \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 1 + \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 9.4.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 8 (3) \geq 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $- 3$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1 + \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1 + \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 9.5.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{4} - 4 {(6)}^{3} + 8 (6) \geq 0$

Étape 9.5.3

Le côté gauche $480$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1 - \sqrt{5}$ Vrai

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Faux

$x > 1 + \sqrt{5}$ Vrai

$x < 1 - \sqrt{5}$ Vrai

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Faux

$x > 1 + \sqrt{5}$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 1 - \sqrt{5}$ ou $0 \leq x \leq 2$ ou $x \geq 1 + \sqrt{5}$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, 1 - \sqrt{5}] \cup [0, 2] \cup [1 + \sqrt{5}, \infty)$

Étape 12