Algèbre Exemples

$\frac{x}{3 - x} + \frac{4 x + 7}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x}{3 - x} + \frac{4 x + 7}{x^{2} - 3^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x}{3 - x} + \frac{4 x + 7}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{x}{3 - x} + \frac{4 x + 7}{(x + 3) (- 1 (- x) - 3)}$

Étape 2.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{x}{3 - x} + \frac{4 x + 7}{(x + 3) (- 1 (- x) - 1 (3))}$

Étape 2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (3)$ .

$\frac{x}{3 - x} + \frac{4 x + 7}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{4 x + 7}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))}$ au numérateur.

$\frac{x}{3 - x} + \frac{- (4 x + 7)}{(x + 3) (- x + 3)}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x}{- x + 3} + \frac{- (4 x + 7)}{(x + 3) (- x + 3)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x}{- x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{- x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{- (4 x + 7)}{(x + 3) (- x + 3)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(- x + 3) (x + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{- x + 3}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x (x + 3)}{(- x + 3) (x + 3)} + \frac{- (4 x + 7)}{(x + 3) (- x + 3)}$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) (- x + 3)$ .

$\frac{x (x + 3)}{(- x + 3) (x + 3)} + \frac{- (4 x + 7)}{(- x + 3) (x + 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 3) - (4 x + 7)}{(- x + 3) (x + 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - (4 x + 7)}{(- x + 3) (x + 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 - (4 x + 7)}{(- x + 3) (x + 3)}$

Étape 6.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x - (4 x + 7)}{(- x + 3) (x + 3)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x - (4 x) - 1 \cdot 7}{(- x + 3) (x + 3)}$

Étape 6.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 4 x - 1 \cdot 7}{(- x + 3) (x + 3)}$

Étape 6.6

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 4 x - 7}{(- x + 3) (x + 3)}$

Étape 6.7

Soustrayez $4 x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 7}{(- x + 3) (x + 3)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 7}{(- (x) + 3) (x + 3)}$

Étape 7.2

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{x^{2} - x - 7}{(- (x) - 1 (- 3)) (x + 3)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{x^{2} - x - 7}{- (x - 3) (x + 3)}$

Étape 7.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 7.4.1

Réécrivez $- (x - 3)$ comme $- 1 (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} - x - 7}{- 1 (x - 3) (x + 3)}$

Étape 7.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - x - 7}{(x - 3) (x + 3)}$