Algèbre Exemples

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{3 x^{2} - 4 x - 4}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ et dont la somme est $b = - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{3 x^{2} - 4 (x) - 4}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $2$ plus $- 6$

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{3 x^{2} + (2 - 6) x - 4}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 x - 4}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{(3 x^{2} + 2 x) - 6 x - 4}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{x (3 x + 2) - 2 (3 x + 2)}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 2$ .

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 2, 3 x + 2, (3 x + 2) (x - 2)$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $x - 2$ est $x - 2$ lui-même.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $3 x + 2$ est $3 x + 2$ lui-même.

$(3 x + 2) = 3 x + 2$

$(3 x + 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $x - 2$ est $x - 2$ lui-même.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le plus petit multiple commun de $x - 2, 3 x + 2, 3 x + 2, x - 2$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x - 2) (3 x + 2)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)}$ par $(x - 2) (3 x + 2)$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)}$ par $(x - 2) (3 x + 2)$ .

$\frac{2 x}{x - 2} ((x - 2) (3 x + 2)) - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{x - 2} ((x - 2) (3 x + 2)) - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x (3 x + 2) - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (3 x) + 2 x \cdot 2 - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \cdot 3 x \cdot x + 4 x - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.5.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.5.1.1

Déplacez $x$ .

$2 \cdot 3 (x \cdot x) + 4 x - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 \cdot 3 x^{2} + 4 x - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x^{2} + 4 x - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3 x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 x - 1}{3 x + 2}$ dans le numérateur.

$6 x^{2} + 4 x + \frac{- (4 x - 1)}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.6.2

Factorisez $3 x + 2$ à partir de $(x - 2) (3 x + 2)$ .

$6 x^{2} + 4 x + \frac{- (4 x - 1)}{3 x + 2} ((3 x + 2) (x - 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$6 x^{2} + 4 x + \frac{- (4 x - 1)}{3 x + 2} ((3 x + 2) (x - 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$6 x^{2} + 4 x - (4 x - 1) (x - 2) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} + 4 x + (- (4 x) - - 1) (x - 2) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$6 x^{2} + 4 x + (- 4 x - - 1) (x - 2) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$6 x^{2} + 4 x + (- 4 x + 1) (x - 2) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.10

Développez $(- 4 x + 1) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} + 4 x - 4 x (x - 2) + 1 (x - 2) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} + 4 x - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + 1 (x - 2) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} + 4 x - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.11.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.11.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.11.1.1.1

Déplacez $x$ .

$6 x^{2} + 4 x - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.11.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$6 x^{2} + 4 x - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.11.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$6 x^{2} + 4 x - 4 x^{2} + 8 x + 1 x + 1 \cdot - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.11.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$6 x^{2} + 4 x - 4 x^{2} + 8 x + x + 1 \cdot - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.11.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$6 x^{2} + 4 x - 4 x^{2} + 8 x + x - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.1.11.2

Additionnez $8 x$ et $x$ .

$6 x^{2} + 4 x - 4 x^{2} + 9 x - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Soustrayez $4 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 9 x - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $4 x$ et $9 x$ .

$2 x^{2} + 13 x - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $(x - 2) (3 x + 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Factorisez $(x - 2) (3 x + 2)$ à partir de $(3 x + 2) (x - 2)$ .

$2 x^{2} + 13 x - 2 = \frac{17 x + 4}{(x - 2) (3 x + 2) (1)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + 13 x - 2 = \frac{17 x + 4}{(x - 2) (3 x + 2) \cdot 1} ((x - 2) (3 x + 2))$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} + 13 x - 2 = 17 x + 4$

Étape 4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Soustrayez $17 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 13 x - 2 - 17 x = 4$

Étape 4.1.2

Soustrayez $17 x$ de $13 x$ .

$2 x^{2} - 4 x - 2 = 4$

Étape 4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 4 x - 2 - 4 = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $4$ de $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x - 6 = 0$

Étape 4.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 4 x - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 4 x - 6 = 0$

Étape 4.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) - 6 = 0$

Étape 4.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Étape 4.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (- 2 x)$ .

$2 (x^{2} - 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Étape 4.4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 2 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Étape 4.4.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 4.4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Étape 4.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 4.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.7

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 3, - 1$