Algèbre Exemples

$f (x) = - 4 {(2 x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 9) (x^{2} - 5)$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - 4 {(2 x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 9) (x^{2} - 5)$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 {(2 x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 9) (x^{2} - 5) = 0$ .

$- 4 {(2 x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 9) (x^{2} - 5) = 0$

Étape 1.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Étape 1.2.3

Définissez ${(2 x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez ${(2 x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3.2

Résolvez ${(2 x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Définissez le $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 1.2.3.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 1.2.3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.4

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 1.2.5

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $x^{2} + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 9$

Étape 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 1.2.5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 1.2.5.2.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 1.2.5.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 1.2.5.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 1.2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 1.2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 1.2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 1.2.6

Définissez $x^{2} - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x^{2} - 5$ égal à $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez $x^{2} - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 5$

Étape 1.2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 1.2.6.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 1.2.6.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 1.2.6.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 4 {(2 x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 9) (x^{2} - 5) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, - 2, 3 i, - 3 i, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- \frac{1}{2}, 0), (- 2, 0), (\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - 4 {(2 (0) + 1)}^{2} {((0) + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 4 {(2 (0) + 1)}^{2} {(0 + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - 4 {(2 (0) + 1)}^{2} {(0 + 2)}^{2} (0^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - 4 {(2 (0) + 1)}^{2} {(0 + 2)}^{2} (0^{2} + 9) (0^{2} - 5)$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = - 4 {(2 (0) + 1)}^{2} {((0) + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Étape 2.2.5

Simplifiez $- 4 {(2 (0) + 1)}^{2} {((0) + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$ .

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Étape 2.2.5.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = - 4 {(0 + 1)}^{2} {((0) + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Étape 2.2.5.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$y = - 4 \cdot 1^{2} {((0) + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Étape 2.2.5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = - 4 \cdot 1 {((0) + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Étape 2.2.5.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = - 4 {((0) + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Étape 2.2.5.5

Additionnez $0$ et $2$ .

$y = - 4 \cdot 2^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Étape 2.2.5.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = - 4 \cdot 4 ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Étape 2.2.5.7

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = - 16 ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Étape 2.2.5.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = - 16 (0 + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Étape 2.2.5.9

Additionnez $0$ et $9$ .

$y = - 16 \cdot 9 ({(0)}^{2} - 5)$

Étape 2.2.5.10

Multipliez $- 16$ par $9$ .

$y = - 144 ({(0)}^{2} - 5)$

Étape 2.2.5.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = - 144 (0 - 5)$

Étape 2.2.5.12

Soustrayez $5$ de $0$ .

$y = - 144 \cdot - 5$

Étape 2.2.5.13

Multipliez $- 144$ par $- 5$ .

$y = 720$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 720)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- \frac{1}{2}, 0), (- 2, 0), (\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 720)$

Étape 4