Algèbre Exemples

$y - 5 = {(x - 2)}^{2}$ $x + 2 y = 6$

Étape 1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = {(x - 2)}^{2}$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $6 - 2 y$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y - 5 = {(x - 2)}^{2}$ par $6 - 2 y$ .

$y - 5 = {((6 - 2 y) - 2)}^{2}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${((6 - 2 y) - 2)}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1.1

Soustrayez $2$ de $6$ .

$y - 5 = {(- 2 y + 4)}^{2}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez ${(- 2 y + 4)}^{2}$ comme $(- 2 y + 4) (- 2 y + 4)$ .

$y - 5 = (- 2 y + 4) (- 2 y + 4)$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = (- 2 y + 4) (- 2 y + 4)$

$x = 6 - 2 y$

Étape 2.2.1.2

Développez $(- 2 y + 4) (- 2 y + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 5 = - 2 y (- 2 y + 4) + 4 (- 2 y + 4)$

$x = 6 - 2 y$

Étape 2.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y - 5 = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y + 4)$

$x = 6 - 2 y$

Étape 2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 5 = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Étape 2.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y - 5 = - 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Étape 2.2.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$y - 5 = - 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Étape 2.2.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y - 5 = - 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = - 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Étape 2.2.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Étape 2.2.1.3.1.4

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 8 y + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Étape 2.2.1.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 8 y - 8 y + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Étape 2.2.1.3.1.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 8 y - 8 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 8 y - 8 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

Étape 2.2.1.3.2

Soustrayez $8 y$ de $- 8 y$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$ .

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Étape 3.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 y^{2} - 16 y + 16 = y - 5$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{2} - 16 y + 16 - y = - 5$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.2.2

Soustrayez $y$ de $- 16 y$ .

$4 y^{2} - 17 y + 16 = - 5$

$x = 6 - 2 y$

$4 y^{2} - 17 y + 16 = - 5$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y^{2} - 17 y + 16 + 5 = 0$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.3.2

Additionnez $16$ et $5$ .

$4 y^{2} - 17 y + 21 = 0$

$x = 6 - 2 y$

$4 y^{2} - 17 y + 21 = 0$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 17$ et $c = 21$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 21)}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 4 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 21$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 16 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $21$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.6.1.3

Soustrayez $336$ de $289$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez $- 47$ comme $- 1 (47)$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (47)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 4 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 21$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 16 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $21$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.7.1.3

Soustrayez $336$ de $289$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.7.1.4

Réécrivez $- 47$ comme $- 1 (47)$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (47)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.7.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 4 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 21$ .

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Étape 3.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 16 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.8.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $21$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.8.1.3

Soustrayez $336$ de $289$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.8.1.4

Réécrivez $- 47$ comme $- 1 (47)$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.8.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (47)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.8.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.8.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 3.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}, \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}, \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $\frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 6 - 2 y$ par $\frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$ .

$x = 6 - 2 \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $6 - 2 \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$x = 6 + 2 (- 1) (\frac{17 + i \sqrt{47}}{8})$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Étape 4.2.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$x = 6 + 2 \cdot (- 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{2 \cdot 4})$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Étape 4.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = 6 + 2 \cdot (- 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{2 \cdot 4})$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Étape 4.2.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = 6 - 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez $- 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$ comme $- \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$ .

$x = 6 - \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Étape 4.2.1.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Étape 4.2.1.3

Associez $6$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{6 \cdot 4}{4} - \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Étape 4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $\frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 6 - 2 y$ par $\frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$ .

$x = 6 - 2 \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $6 - 2 \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$x = 6 + 2 (- 1) (\frac{17 - i \sqrt{47}}{8})$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$x = 6 + 2 \cdot (- 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{2 \cdot 4})$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Étape 5.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = 6 + 2 \cdot (- 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{2 \cdot 4})$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Étape 5.2.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = 6 - 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez $- 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$ comme $- \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$ .

$x = 6 - \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Étape 5.2.1.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Étape 5.2.1.3

Associez $6$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{6 \cdot 4}{4} - \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Étape 5.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Étape 6

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}, y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}, y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Étape 7