Algèbre Exemples

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 5}{25 - 4 x^{2}}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 (x) - 5}{25 - 4 x^{2}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $2$ plus $- 5$

$\frac{2 x^{2} + (2 - 5) x - 5}{25 - 4 x^{2}}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5}{25 - 4 x^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x) - 5 x - 5}{25 - 4 x^{2}}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (x + 1) - 5 (x + 1)}{25 - 4 x^{2}}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{25 - 4 x^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{5^{2} - 4 x^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{5^{2} - {(2 x)}^{2}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = 2 x$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{(5 + 2 x) (5 - (2 x))}$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $2 x - 5$ et $5 - 2 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$\frac{(x + 1) (- (- 2 x) - 5)}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{(x + 1) (- (- 2 x) - 1 (5))}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}$

Étape 3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 2 x) - 1 (5)$ .

$\frac{(x + 1) (- (- 2 x + 5))}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}$

Étape 3.1.4

Réécrivez $- (- 2 x + 5)$ comme $- 1 (- 2 x + 5)$ .

$\frac{(x + 1) (- 1 (- 2 x + 5))}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}$

Étape 3.1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + 1) (- 1 (- 2 x + 5))}{(5 + 2 x) (- 2 x + 5)}$

Étape 3.1.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (- 1 (- 2 x + 5))}{(5 + 2 x) (- 2 x + 5)}$

Étape 3.1.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 1) \cdot (- 1)}{5 + 2 x}$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x + 1$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + 1)}{5 + 2 x}$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 1}{5 + 2 x}$