Algèbre Exemples

$5 x^{\frac{5}{2}} - 10 x^{\frac{3}{2}} = 120 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Soustrayez $120 x^{\frac{1}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{\frac{5}{2}} - 10 x^{\frac{3}{2}} - 120 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 2

Factorisez $5 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $5 x^{\frac{5}{2}} - 10 x^{\frac{3}{2}} - 120 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $5 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $5 x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) - 10 x^{\frac{3}{2}} - 120 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $5 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{2}{2}}) - 120 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 2.3

Factorisez $5 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 120 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{2}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 24) = 0$

Étape 2.4

Factorisez $5 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{2}{2}})$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 24) = 0$

Étape 2.5

Factorisez $5 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 24)$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}} - 24) = 0$

Étape 3

Factorisez $x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}} - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 6, 4$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$5 x^{\frac{1}{2}} ((x^{\frac{2}{2}} - 6) (x^{\frac{2}{2}} + 4)) = 0$

Étape 4

Divisez $2$ par $2$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} ((x - 6) (x^{\frac{2}{2}} + 4)) = 0$

Étape 5

Divisez $2$ par $2$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} ((x - 6) (x + 4)) = 0$

Étape 6

Supprimez les parenthèses inutiles.

$5 x^{\frac{1}{2}} (x - 6) (x + 4) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 8

Définissez $x^{\frac{1}{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x^{\frac{1}{2}}$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 8.2.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 8.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 8.2.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 8.2.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 8.2.2.1.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 9

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 10

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 x^{\frac{1}{2}} (x - 6) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 6, - 4$

Étape 12

Excluez les solutions qui ne rendent pas $5 x^{\frac{1}{2}} (x - 6) (x + 4) = 0$ vrai.

$x = 0, 6$