Algèbre Exemples

$\frac{x + 1}{x^{2} - 3 x - 4} + \frac{x - 3}{x - 2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 1)} + \frac{x - 3}{x - 2}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 1)} + \frac{x - 3}{x - 2}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x - 4} + \frac{x - 3}{x - 2}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{x - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{x - 3}{x - 2}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x - 3}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{x - 3}{x - 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 4) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{x - 4}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 2}{(x - 4) (x - 2)} + \frac{x - 3}{x - 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x - 3}{x - 2}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x - 2}{(x - 4) (x - 2)} + \frac{(x - 3) (x - 4)}{(x - 2) (x - 4)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x - 2)$ .

$\frac{x - 2}{(x - 2) (x - 4)} + \frac{(x - 3) (x - 4)}{(x - 2) (x - 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 2 + (x - 3) (x - 4)}{(x - 2) (x - 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(x - 3) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 2 + x (x - 4) - 3 (x - 4)}{(x - 2) (x - 4)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 2 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 3 (x - 4)}{(x - 2) (x - 4)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 2 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 3 x - 3 \cdot - 4}{(x - 2) (x - 4)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x - 2 + x^{2} + x \cdot - 4 - 3 x - 3 \cdot - 4}{(x - 2) (x - 4)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{x - 2 + x^{2} - 4 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 4}{(x - 2) (x - 4)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$\frac{x - 2 + x^{2} - 4 x - 3 x + 12}{(x - 2) (x - 4)}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $3 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x - 2 + x^{2} - 7 x + 12}{(x - 2) (x - 4)}$

Étape 6.3

Soustrayez $7 x$ de $x$ .

$\frac{- 6 x - 2 + x^{2} + 12}{(x - 2) (x - 4)}$

Étape 6.4

Additionnez $- 2$ et $12$ .

$\frac{- 6 x + x^{2} + 10}{(x - 2) (x - 4)}$

Étape 6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} - 6 x + 10}{(x - 2) (x - 4)}$