Algèbre Exemples

$\frac{2}{x - 2} + \frac{x}{x + 9} - \frac{x + 20}{x^{2} + 7 x - 18}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 7 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $7$ .

$- 2, 9$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2}{x - 2} + \frac{x}{x + 9} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x + 9}{x + 9} + \frac{x}{x + 9} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x}{x + 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x + 9}{x + 9} + \frac{x}{x + 9} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) (x + 9)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2}{x - 2}$ par $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{2 (x + 9)}{(x - 2) (x + 9)} + \frac{x}{x + 9} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x}{x + 9}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 9)}{(x - 2) (x + 9)} + \frac{x (x - 2)}{(x + 9) (x - 2)} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 9)$ .

$\frac{2 (x + 9)}{(x + 9) (x - 2)} + \frac{x (x - 2)}{(x + 9) (x - 2)} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x + 9) + x (x - 2)}{(x + 9) (x - 2)} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x + 9) + x (x - 2) - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 \cdot 9 + x (x - 2) - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Étape 5.3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{2 x + 18 + x (x - 2) - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 18 + x \cdot x + x \cdot - 2 - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Étape 5.3.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x + 18 + x^{2} + x \cdot - 2 - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Étape 5.3.5

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x + 18 + x^{2} - 2 \cdot x - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Étape 5.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 18 + x^{2} - 2 x - x - 1 \cdot 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Étape 5.3.7

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$\frac{2 x + 18 + x^{2} - 2 x - x - 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Étape 5.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.4.1

Associez les termes opposés dans $2 x + 18 + x^{2} - 2 x - x - 20$ .

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Étape 5.4.1.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{18 + x^{2} + 0 - x - 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Étape 5.4.1.2

Additionnez $18 + x^{2}$ et $0$ .

$\frac{18 + x^{2} - x - 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Étape 5.4.2

Soustrayez $20$ de $18$ .

$\frac{x^{2} - x - 2}{(x + 9) (x - 2)}$

Étape 6

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x + 9) (x - 2)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x + 9) (x - 2)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x + 9}$