Algèbre Exemples

$5 \sqrt{x - 3} - 2 \leq 13$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $5 \sqrt{x - 3}$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 1.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$5 \sqrt{x - 3} \leq 13 + 2$

Étape 1.2

Additionnez $13$ et $2$ .

$5 \sqrt{x - 3} \leq 15$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(5 \sqrt{x - 3})}^{2} \leq 15^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 3}$ comme ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 15^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5^{2} {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 15^{2}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$25 {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 15^{2}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 15^{2}$

Étape 3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$25 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 15^{2}$

Étape 3.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$25 {(x - 3)}^{1} \leq 15^{2}$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez

$25 (x - 3) \leq 15^{2}$

Étape 3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$25 x + 25 \cdot - 3 \leq 15^{2}$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $25$ par $- 3$ .

$25 x - 75 \leq 15^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$25 x - 75 \leq 225$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 4.1.1

Ajoutez $75$ aux deux côtés de l’inégalité.

$25 x \leq 225 + 75$

Étape 4.1.2

Additionnez $225$ et $75$ .

$25 x \leq 300$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $25 x \leq 300$ par $25$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $25 x \leq 300$ par $25$ .

$\frac{25 x}{25} \leq \frac{300}{25}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 x}{25} \leq \frac{300}{25}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{300}{25}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $300$ par $25$ .

$x \leq 12$

Étape 5

Déterminez le domaine de $5 \sqrt{x - 3} - 15$ .

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Étape 5.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 3 \geq 0$

Étape 5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 3$

Étape 5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[3, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 3$

$3 < x < 12$

$x > 12$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$5 \sqrt{(0) - 3} - 2 \leq 13$

Étape 7.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$5 \sqrt{(8) - 3} - 2 \leq 13$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $9.18033988$ est inférieur au côté droit $13$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 14$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $14$ dans l’inégalité d’origine.

$5 \sqrt{(14) - 3} - 2 \leq 13$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $14.58312395$ est supérieur au côté droit $13$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 3$ Faux

$3 < x < 12$ Vrai

$x > 12$ Faux

$x < 3$ Faux

$3 < x < 12$ Vrai

$x > 12$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$3 \leq x \leq 12$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$3 \leq x \leq 12$

Notation d’intervalle :

$[3, 12]$

Étape 10