Algèbre Exemples

$f (x) = 8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$ comme une équation.

$y = 8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 8 {(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $8 {(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}} = x$ .

$8 {(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $8 {(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}} = x$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $8 {(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}} = x$ par $8$ .

$\frac{8 {(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}}{8} = \frac{x}{8}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 {(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}}{8} = \frac{x}{8}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.2.1

Divisez ${(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$ par $1$ .

${(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}} = \frac{x}{8}$

Étape 3.2.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{y + 10}{9}$ .

$\frac{{(y + 10)}^{\frac{1}{7}}}{9^{\frac{1}{7}}} = \frac{x}{8}$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $9^{\frac{1}{7}}$ .

$9^{\frac{1}{7}} \frac{{(y + 10)}^{\frac{1}{7}}}{9^{\frac{1}{7}}} = 9^{\frac{1}{7}} \frac{x}{8}$

Étape 3.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun de $9^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$9^{\frac{1}{7}} \frac{{(y + 10)}^{\frac{1}{7}}}{9^{\frac{1}{7}}} = 9^{\frac{1}{7}} \frac{x}{8}$

Étape 3.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 10)}^{\frac{1}{7}} = 9^{\frac{1}{7}} \frac{x}{8}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $9^{\frac{1}{7}} \frac{x}{8}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Associez $9^{\frac{1}{7}}$ et $\frac{x}{8}$ .

${(y + 10)}^{\frac{1}{7}} = \frac{9^{\frac{1}{7}} x}{8}$

Étape 3.4.2.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{9^{\frac{1}{7}} x}{8}$ .

${(y + 10)}^{\frac{1}{7}} = \frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8}$

Étape 3.5

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $7$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(y + 10)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(\frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8})}^{7}$

Étape 3.6

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.1.1

Simplifiez ${({(y + 10)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 3.6.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 10)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 3.6.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 10)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8})}^{7}$

Étape 3.6.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.6.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 10)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8})}^{7}$

Étape 3.6.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 10)}^{1} = {(\frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8})}^{7}$

Étape 3.6.1.1.2

Simplifiez

$y + 10 = {(\frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8})}^{7}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.1

Simplifiez ${(\frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8})}^{7}$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8}$ .

$y + 10 = \frac{{(x \cdot 9^{\frac{1}{7}})}^{7}}{8^{7}}$

Étape 3.6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $x \cdot 9^{\frac{1}{7}}$ .

$y + 10 = \frac{x^{7} \cdot {(9^{\frac{1}{7}})}^{7}}{8^{7}}$

Étape 3.6.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(9^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 3.6.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + 10 = \frac{x^{7} \cdot 9^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{8^{7}}$

Étape 3.6.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.6.2.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + 10 = \frac{x^{7} \cdot 9^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{8^{7}}$

Étape 3.6.2.1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + 10 = \frac{x^{7} \cdot 9^{1}}{8^{7}}$

Étape 3.6.2.1.2.2

Évaluez l’exposant.

$y + 10 = \frac{x^{7} \cdot 9}{8^{7}}$

Étape 3.6.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.2.1.3.1

Élevez $8$ à la puissance $7$ .

$y + 10 = \frac{x^{7} \cdot 9}{2097152}$

Étape 3.6.2.1.3.2

Déplacez $9$ à gauche de $x^{7}$ .

$y + 10 = \frac{9 x^{7}}{2097152}$

Étape 3.7

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{9 x^{7}}{2097152} - 10$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{7}}{2097152} - 10$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{7}}{2097152} - 10$ est l’inverse de $f (x) = 8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{9 {(8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{9 \cdot (8^{7} {({(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}})}^{7})}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3.1.2

Élevez $8$ à la puissance $7$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{9 \cdot (2097152 {({(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}})}^{7})}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{9 \cdot (2097152 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7} \cdot 7})}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3.1.3.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{9 \cdot (2097152 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7} \cdot 7})}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{9 \cdot (2097152 (\frac{x + 10}{9}))}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3.1.4

Simplifiez

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{9 \cdot (2097152 (\frac{x + 10}{9}))}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3.1.5

Associez les exposants.

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Étape 5.2.3.1.5.1

Multipliez $9$ par $2097152$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{18874368 (\frac{x + 10}{9})}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3.1.5.2

Associez $18874368$ et $\frac{x + 10}{9}$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{\frac{18874368 (x + 10)}{9}}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3.1.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.6.1

Réduisez l’expression $\frac{18874368 (x + 10)}{9}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.6.1.1

Factorisez $9$ à partir de $18874368 (x + 10)$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{\frac{9 (2097152 (x + 10))}{9}}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3.1.6.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{\frac{9 (2097152 (x + 10))}{9 (1)}}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3.1.6.1.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{\frac{9 (2097152 (x + 10))}{9 \cdot 1}}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3.1.6.1.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{\frac{2097152 (x + 10)}{1}}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3.1.6.2

Divisez $2097152 (x + 10)$ par $1$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 (x + 10)}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2097152$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 (x + 10)}{2097152} - 10$

Étape 5.2.3.2.2

Divisez $x + 10$ par $1$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = x + 10 - 10$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 10 - 10$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $10$ de $10$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{(\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{\frac{9 x^{7}}{2097152} + 0}{9})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\frac{9 x^{7}}{2097152}$ et $0$ .

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{\frac{9 x^{7}}{2097152}}{9})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{9 x^{7}}{2097152} \cdot \frac{1}{9})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.5.1

Associez.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{9 x^{7} \cdot 1}{2097152 \cdot 9})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{9 x^{7} \cdot 1}{2097152 \cdot 9})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{x^{7} \cdot 1}{2097152})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.5.3.1

Multipliez $x^{7}$ par $1$ .

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{x^{7}}{2097152})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.5.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{7}}{2097152}$ .

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{{(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Étape 5.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.6.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 5.3.6.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x^{7 (\frac{1}{7})}}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Étape 5.3.6.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x^{7 (\frac{1}{7})}}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Étape 5.3.6.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Étape 5.3.6.2

Simplifiez

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Étape 5.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.7.1

Réécrivez $2097152$ comme $8^{7}$ .

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{{(8^{7})}^{\frac{1}{7}}})$

Étape 5.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{8^{7 (\frac{1}{7})}})$

Étape 5.3.7.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{8^{7 (\frac{1}{7})}})$

Étape 5.3.7.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{8})$

Étape 5.3.7.4

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{8})$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{8})$

Étape 5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{7}}{2097152} - 10$ est l’inverse de $f (x) = 8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{7}}{2097152} - 10$