Algèbre Exemples

${(\sin (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{6}) + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{2} \tan (\frac{π}{6}) + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2 \cdot 3} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2 \cdot 3} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2 \cdot 3} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2 \cdot 3} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 3} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $2$ par $3$ .

${(\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{6} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{3^{\frac{2}{2}}}{6} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{3^{\frac{2}{2}}}{6} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{3^{1}}{6} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.4.5

Évaluez l’exposant.

${(\frac{3}{6} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 1.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

${(\frac{3 (1)}{6} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

${(\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

${(\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

${(\frac{1}{2} + \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{4})$ est $\sqrt{2}$ .

${(\frac{1}{2} + \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\frac{1}{2} + \sqrt{2})}^{2}$ comme $(\frac{1}{2} + \sqrt{2}) (\frac{1}{2} + \sqrt{2})$ .

$(\frac{1}{2} + \sqrt{2}) (\frac{1}{2} + \sqrt{2})$

Étape 2

Développez $(\frac{1}{2} + \sqrt{2}) (\frac{1}{2} + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\frac{1}{2} + \sqrt{2})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\frac{1}{2} + \sqrt{2})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{1}{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{1}{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{1}{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 3.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{1}{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 3.1.3

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 3.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{4}$

Étape 3.1.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2^{2}}$

Étape 3.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$

Étape 3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.3

Associez $2$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 2 \cdot 4}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1 + 8}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2

Additionnez $1$ et $8$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{9}{4} + \sqrt{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{9}{4} + \sqrt{2}$

Forme décimale :

$3.66421356 \dots$