Algèbre Exemples

$x^{5} = 18 x^{3} - 81 x$

Étape 1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$18 x^{3} - 81 x = x^{5}$

Étape 2

Soustrayez $x^{5}$ des deux côtés de l’équation.

$18 x^{3} - 81 x - x^{5} = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $- x$ à partir de $18 x^{3} - 81 x - x^{5}$ .

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Étape 3.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 3.1.1.1

Déplacez $- 81 x$ .

$18 x^{3} - x^{5} - 81 x = 0$

Étape 3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $18 x^{3}$ et $- x^{5}$ .

$- x^{5} + 18 x^{3} - 81 x = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{5}$ .

$- x \cdot x^{4} + 18 x^{3} - 81 x = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $- x$ à partir de $18 x^{3}$ .

$- x \cdot x^{4} - x (- 18 x^{2}) - 81 x = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez $- x$ à partir de $- 81 x$ .

$- x \cdot x^{4} - x (- 18 x^{2}) - x \cdot 81 = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{4}) - x (- 18 x^{2})$ .

$- x (x^{4} - 18 x^{2}) - x \cdot 81 = 0$

Étape 3.1.6

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{4} - 18 x^{2}) - x (81)$ .

$- x (x^{4} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Étape 3.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x (u^{2} - 18 u + 81) = 0$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.4.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$- x (u^{2} - 18 u + 9^{2}) = 0$

Étape 3.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

Étape 3.4.3

Réécrivez le polynôme.

$- x (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Étape 3.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 9$ .

$- x {(u - 9)}^{2} = 0$

Étape 3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x {(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Étape 3.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- x {(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Étape 3.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$- x {((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Étape 3.8

Factorisez.

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Étape 3.8.1

Appliquez la règle de produit à $(x + 3) (x - 3)$ .

$- x ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

Étape 3.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez ${(x + 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez ${(x - 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, - 3, 3$