Algèbre Exemples

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Étape 1

Remplacez $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

Étape 2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez $\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.6

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.8

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 2.9

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Étape 2.9.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Évaluez $\arccos (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$x = 2.23703575$

Étape 2.9.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 2.23703575$

Étape 2.9.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.23703575$

Étape 2.9.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 2.23703575$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.23703575$

Étape 2.9.4.2.2

Soustrayez $2.23703575$ de $6.2831853$ .

$x = 4.04614954$

Étape 2.9.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.9.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.9.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.23703575 + 2 π n, 4.04614954 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.10

Indiquez toutes les solutions.

$x = 2.23703575 + 2 π n, 4.04614954 + 2 π n$ , pour tout entier $n$