Algèbre Exemples

$x + y = 5$ $y + 1 = 3 x^{2} + 2 x$

Étape 1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 x^{2} + 2 x$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $5 - y$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y + 1 = 3 x^{2} + 2 x$ par $5 - y$ .

$y + 1 = 3 {(5 - y)}^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $3 {(5 - y)}^{2} + 2 (5 - y)$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez ${(5 - y)}^{2}$ comme $(5 - y) (5 - y)$ .

$y + 1 = 3 ((5 - y) (5 - y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.2

Développez $(5 - y) (5 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + 1 = 3 (5 (5 - y) - y (5 - y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y + 1 = 3 (5 \cdot 5 + 5 (- y) - y (5 - y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 1 = 3 (5 \cdot 5 + 5 (- y) - y \cdot 5 - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 (5 \cdot 5 + 5 (- y) - y \cdot 5 - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.3.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$y + 1 = 3 (25 + 5 (- y) - y \cdot 5 - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - y \cdot 5 - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y + 1 y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y + y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y + y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.3.2

Soustrayez $5 y$ de $- 5 y$ .

$y + 1 = 3 (25 - 10 y + y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 (25 - 10 y + y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y + 1 = 3 \cdot 25 + 3 (- 10 y) + 3 y^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1.5.1

Multipliez $3$ par $25$ .

$y + 1 = 75 + 3 (- 10 y) + 3 y^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.5.2

Multipliez $- 10$ par $3$ .

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 2 \cdot 5 + 2 (- y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.7

Multipliez $2$ par $5$ .

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 10 + 2 (- y)$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.1.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 10 - 2 y$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 10 - 2 y$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1.2.1

Additionnez $75$ et $10$ .

$y + 1 = - 30 y + 3 y^{2} + 85 - 2 y$

$x = 5 - y$

Étape 2.2.1.2.2

Soustrayez $2 y$ de $- 30 y$ .

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$ .

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Étape 3.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 32 y + 3 y^{2} + 85 = y + 1$

$x = 5 - y$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$- 32 y + 3 y^{2} + 85 - y = 1$

$x = 5 - y$

Étape 3.2.2

Soustrayez $y$ de $- 32 y$ .

$- 33 y + 3 y^{2} + 85 = 1$

$x = 5 - y$

$- 33 y + 3 y^{2} + 85 = 1$

$x = 5 - y$

Étape 3.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 33 y + 3 y^{2} + 85 - 1 = 0$

$x = 5 - y$

Étape 3.4

Soustrayez $1$ de $85$ .

$- 33 y + 3 y^{2} + 84 = 0$

$x = 5 - y$

Étape 3.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 33 y + 3 y^{2} + 84$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 33 y$ .

$3 (- 11 y) + 3 y^{2} + 84 = 0$

$x = 5 - y$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2}$ .

$3 (- 11 y) + 3 (y^{2}) + 84 = 0$

$x = 5 - y$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $84$ .

$3 (- 11 y) + 3 y^{2} + 3 \cdot 28 = 0$

$x = 5 - y$

Étape 3.5.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 11 y) + 3 y^{2}$ .

$3 (- 11 y + y^{2}) + 3 \cdot 28 = 0$

$x = 5 - y$

Étape 3.5.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 11 y + y^{2}) + 3 \cdot 28$ .

$3 (- 11 y + y^{2} + 28) = 0$

$x = 5 - y$

$3 (- 11 y + y^{2} + 28) = 0$

$x = 5 - y$

Étape 3.5.2

Laissez $u = y$ . Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $u$ .

$3 (- 11 u + u^{2} + 28) = 0$

$x = 5 - y$

Étape 3.5.3

Factorisez $- 11 u + u^{2} + 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.5.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $28$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 7, - 4$

$x = 5 - y$

Étape 3.5.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((u - 7) (u - 4)) = 0$

$x = 5 - y$

$3 ((u - 7) (u - 4)) = 0$

$x = 5 - y$

Étape 3.5.4

Factorisez.

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Étape 3.5.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 ((y - 7) (y - 4)) = 0$

$x = 5 - y$

Étape 3.5.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (y - 7) (y - 4) = 0$

$x = 5 - y$

$3 (y - 7) (y - 4) = 0$

$x = 5 - y$

$3 (y - 7) (y - 4) = 0$

$x = 5 - y$

Étape 3.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 7 = 0$

$y - 4 = 0$

$x = 5 - y$

Étape 3.7

Définissez $y - 7$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $y - 7$ égal à $0$ .

$y - 7 = 0$

$x = 5 - y$

Étape 3.7.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 7$

$x = 5 - y$

$y = 7$

$x = 5 - y$

Étape 3.8

Définissez $y - 4$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $y - 4$ égal à $0$ .

$y - 4 = 0$

$x = 5 - y$

Étape 3.8.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 4$

$x = 5 - y$

$y = 4$

$x = 5 - y$

Étape 3.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (y - 7) (y - 4) = 0$ vraie.

$y = 7, 4$

$x = 5 - y$

$y = 7, 4$

$x = 5 - y$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $7$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 5 - y$ par $7$ .

$x = 5 - (7)$

$y = 7$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $5 - (7)$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$x = 5 - 7$

$y = 7$

Étape 4.2.1.2

Soustrayez $7$ de $5$ .

$x = - 2$

$y = 7$

$x = - 2$

$y = 7$

$x = - 2$

$y = 7$

$x = - 2$

$y = 7$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $4$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 5 - y$ par $4$ .

$x = 5 - (4)$

$y = 4$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $5 - (4)$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x = 5 - 4$

$y = 4$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$x = 1$

$y = 4$

$x = 1$

$y = 4$

$x = 1$

$y = 4$

$x = 1$

$y = 4$

Étape 6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- 2, 7)$

$(1, 4)$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(- 2, 7), (1, 4)$

Forme de l’équation :

$x = - 2, y = 7$

$x = 1, y = 4$

Étape 8