Algèbre Exemples

$f (x) = \arcsin (\cos (x))$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\arcsin (\cos (x))$ supérieur ou égal à $- 1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\cos (x) \geq - 1$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x \geq \arccos (- 1)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x \geq π$

Étape 2.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 2.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$π < x < 3 π$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $π < x < 3 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $π < x < 3 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\cos (6) \geq - 1$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $0.96017028$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.2

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$π < x < 3 π$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\arcsin (\cos (x))$ inférieur ou égal à $1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\cos (x) \leq 1$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x \leq \arccos (1)$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x \leq 0$

Étape 4.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 4.4

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 4.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.7

Consolidez les réponses.

$x = 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < 2 π$

Étape 4.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 4.9.1.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\cos (3) \leq 1$

Étape 4.9.1.3

Le côté gauche $- 0.98999249$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.9.2

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < 2 π$ Vrai

Étape 4.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 + 2 π n \leq x \leq 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Étape 7

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : ${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , pour tout entier $n$

Plage : $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Étape 8