Algèbre Exemples

$5^{x - 2} = 3 \cdot 4^{x + 1}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (5^{x - 2}) = \ln (3 \cdot 4^{x + 1})$

Étape 2

Développez $\ln (5^{x - 2})$ en déplaçant $x - 2$ hors du logarithme.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3 \cdot 4^{x + 1})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (3 \cdot 4^{x + 1})$ comme $\ln (3) + \ln (4^{x + 1})$ .

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3) + \ln (4^{x + 1})$

Étape 4

Développez $\ln (4^{x + 1})$ en déplaçant $x + 1$ hors du logarithme.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $(x - 2) \ln (5)$ .

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez $- 2 \ln (5)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x \ln (5) - \ln (5^{2}) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Étape 5.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\ln (3) + (x + 1) \ln (4)$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + x \ln (4) + 1 \ln (4)$

Étape 5.2.1.1.2

Multipliez $\ln (4)$ par $1$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + x \ln (4) + \ln (4)$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = x \ln (4) + \ln (3 \cdot 4)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = x \ln (4) + \ln (12)$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (5) - \ln (25) - x \ln (4) - \ln (12) = 0$

Étape 5.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.4.1

Ajoutez $\ln (25)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (5) - x \ln (4) - \ln (12) = \ln (25)$

Étape 5.4.2

Ajoutez $\ln (12)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (5) - x \ln (4) = \ln (25) + \ln (12)$

Étape 5.5

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (5) - x \ln (4)$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (5)$ .

$x (\ln (5)) - x \ln (4) = \ln (25) + \ln (12)$

Étape 5.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (4)$ .

$x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Étape 5.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (4))$ .

$x (\ln (5) - 1 \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Étape 5.6

Réécrivez $- 1 \ln (4)$ comme $- \ln (4)$ .

$x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Étape 5.7

Divisez chaque terme dans $x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$ par $\ln (5) - \ln (4)$ et simplifiez.

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Étape 5.7.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$ par $\ln (5) - \ln (4)$ .

$\frac{x (\ln (5) - \ln (4))}{\ln (5) - \ln (4)} = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Étape 5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5) - \ln (4)$ .

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Étape 5.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (5) - \ln (4))}{\ln (5) - \ln (4)} = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Étape 5.7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Étape 5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{\ln (25) + \ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (25) + \ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Forme décimale :

$x = 25.56104552 \dots$