Algèbre Exemples

$2 x^{2} + 6 > 13 x$

Étape 1

Soustrayez $13 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 x^{2} + 6 - 13 x > 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} + 6 - 13 x = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2} - 13 x + 6 = 0$

Étape 3.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ et dont la somme est $b = - 13$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $- 13$ à partir de $- 13 x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 6 = 0$

Étape 3.2.2

Réécrivez $- 13$ comme $- 1$ plus $- 12$

$2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6 = 0$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6 = 0$

Étape 3.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6 = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1) = 0$

Étape 3.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x - 6) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 5

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, 6$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 6$

$x > 6$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{2} + 6 > 13 (0)$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $6$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(3)}^{2} + 6 > 13 (3)$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $24$ n’est pas supérieur au côté droit $39$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(8)}^{2} + 6 > 13 (8)$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $134$ est supérieur au côté droit $104$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{2}$ Vrai

$\frac{1}{2} < x < 6$ Faux

$x > 6$ Vrai

$x < \frac{1}{2}$ Vrai

$\frac{1}{2} < x < 6$ Faux

$x > 6$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < \frac{1}{2}$ ou $x > 6$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < \frac{1}{2} or x > 6$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (6, \infty)$

Étape 12