Algèbre Exemples

$4^{5 x + 2} = 0.8 \cdot 5^{5 x + 2}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (4^{5 x + 2}) = \ln (0.8 \cdot 5^{5 x + 2})$

Étape 2

Développez $\ln (4^{5 x + 2})$ en déplaçant $5 x + 2$ hors du logarithme.

$(5 x + 2) \ln (4) = \ln (0.8 \cdot 5^{5 x + 2})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (0.8 \cdot 5^{5 x + 2})$ comme $\ln (0.8) + \ln (5^{5 x + 2})$ .

$(5 x + 2) \ln (4) = \ln (0.8) + \ln (5^{5 x + 2})$

Étape 4

Développez $\ln (5^{5 x + 2})$ en déplaçant $5 x + 2$ hors du logarithme.

$(5 x + 2) \ln (4) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Simplifiez $(5 x + 2) \ln (4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (4) + 2 \ln (4) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez $5 \ln (4)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$x \ln (4^{5}) + 2 \ln (4) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Étape 5.1.1.3

Simplifiez $2 \ln (4)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x \ln (4^{5}) + \ln (4^{2}) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Étape 5.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.4.1

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$x \ln (1024) + \ln (4^{2}) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Étape 5.1.1.4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez $\ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + 5 x \ln (5) + 2 \ln (5)$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez $5 \ln (5)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + x \ln (5^{5}) + 2 \ln (5)$

Étape 5.2.1.1.3

Simplifiez $2 \ln (5)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + x \ln (5^{5}) + \ln (5^{2})$

Étape 5.2.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.4.1

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + x \ln (3125) + \ln (5^{2})$

Étape 5.2.1.1.4.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + x \ln (3125) + \ln (25)$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = x \ln (3125) + \ln (0.8 \cdot 25)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $0.8$ par $25$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = x \ln (3125) + \ln (20)$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (1024) + \ln (16) - x \ln (3125) - \ln (20) = 0$

Étape 5.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{16}{20}) = 0$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun à $16$ et $20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{4 (4)}{20}) = 0$

Étape 5.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}) = 0$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}) = 0$

Étape 5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{4}{5}) = 0$

Étape 5.6

Soustrayez $\ln (\frac{4}{5})$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (1024) - x \ln (3125) = - \ln (\frac{4}{5})$

Étape 5.7

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (1024) - x \ln (3125)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (1024)$ .

$x (\ln (1024)) - x \ln (3125) = - \ln (\frac{4}{5})$

Étape 5.7.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (3125)$ .

$x (\ln (1024)) + x (- 1 \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$

Étape 5.7.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (1024)) + x (- 1 \ln (3125))$ .

$x (\ln (1024) - 1 \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$

Étape 5.8

Réécrivez $- 1 \ln (3125)$ comme $- \ln (3125)$ .

$x (\ln (1024) - \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$

Étape 5.9

Divisez chaque terme dans $x (\ln (1024) - \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$ par $\ln (1024) - \ln (3125)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (1024) - \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$ par $\ln (1024) - \ln (3125)$ .

$\frac{x (\ln (1024) - \ln (3125))}{\ln (1024) - \ln (3125)} = \frac{- \ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Étape 5.9.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (1024) - \ln (3125)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (1024) - \ln (3125))}{\ln (1024) - \ln (3125)} = \frac{- \ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Étape 5.9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Étape 5.9.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Forme décimale :

$x = - 0.2$