Algèbre Exemples

$4 {(x - 2)}^{- 2} = 16$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $4 {(x - 2)}^{- 2} = 16$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $4 {(x - 2)}^{- 2} = 16$ par $4$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{- 2}}{4} = \frac{16}{4}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Placez ${(x - 2)}^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{4 {(x - 2)}^{2}} = \frac{16}{4}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{4 {(x - 2)}^{2}} = \frac{16}{4}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{16}{4}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Divisez $16$ par $4$ .

$\frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = 4$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

${(x - 2)}^{2}, 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

${(x - 2)}^{2}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = 4$ par ${(x - 2)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = 4$ par ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(x - 2)}^{2}} {(x - 2)}^{2} = 4 {(x - 2)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(x - 2)}^{2}} {(x - 2)}^{2} = 4 {(x - 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 4 {(x - 2)}^{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $4 {(x - 2)}^{2} = 1$ .

$4 {(x - 2)}^{2} = 1$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $4 {(x - 2)}^{2} = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 {(x - 2)}^{2} = 1$ par $4$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez ${(x - 2)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{1}{4}$

Étape 4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x - 2 = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 4.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x - 2 = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 4.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x - 2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x - 2 = \pm \frac{1}{2}$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x - 2 = \frac{1}{2}$

Étape 4.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{1}{2} + 2$

Étape 4.5.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.5.2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 4.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 4.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{1 + 4}{2}$

Étape 4.5.2.5.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 4.5.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x - 2 = - \frac{1}{2}$

Étape 4.5.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.5.4.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{1}{2} + 2$

Étape 4.5.4.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.5.4.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 4.5.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 4.5.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.4.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 + 4}{2}$

Étape 4.5.4.5.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 4.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{5}{2}, \frac{3}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{5}{2}, \frac{3}{2}$

Forme décimale :

$x = 2.5, 1.5$

Forme de nombre mixte :

$x = 2 \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{2}$