Algèbre Exemples

${(\frac{16}{25})}^{x^{2} + x} = 1$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{16}{25})}^{x^{2} + x}) = \ln (1)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(\frac{16}{25})}^{x^{2} + x})$ en déplaçant $x^{2} + x$ hors du logarithme.

$(x^{2} + x) \ln (\frac{16}{25}) = \ln (1)$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (\frac{16}{25})$ comme $\ln (16) - \ln (25)$ .

$(x^{2} + x) (\ln (16) - \ln (25)) = \ln (1)$

Étape 2.3

Réécrivez $\ln (25)$ comme $\ln (5^{2})$ .

$(x^{2} + x) (\ln (16) - \ln (5^{2})) = \ln (1)$

Étape 2.4

Développez $\ln (5^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$(x^{2} + x) (\ln (16) - (2 \ln (5))) = \ln (1)$

Étape 2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(x^{2} + x) (\ln (16) - 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $(x^{2} + x) (\ln (16) - 2 \ln (5))$ .

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Étape 3.1.1

Développez $(x^{2} + x) (\ln (16) - 2 \ln (5))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (\ln (16) - 2 \ln (5)) + x (\ln (16) - 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \ln (16) + x^{2} (- 2 \ln (5)) + x (\ln (16) - 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \ln (16) + x^{2} (- 2 \ln (5)) + x \ln (16) + x (- 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Étape 3.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} \ln (16) + x^{2} (- 2 \ln (5)) + x \ln (16) + x (- 2 \ln (5))$ .

$x^{2} \ln (16) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = \ln (1)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x^{2} \ln (16) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = 0$

Étape 5

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \ln (16) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \ln (16)$ .

$x (x \ln (16)) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = 0$

Étape 5.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2} \ln (5)$ .

$x (x \ln (16)) + x (- 2 x \ln (5)) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = 0$

Étape 5.3

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (16)$ .

$x (x (\ln (16))) + x (- 2 x \ln (5)) + x (\ln (16)) - 2 x \ln (5) = 0$

Étape 5.4

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x \ln (5)$ .

$x (x (\ln (16))) + x (- 2 x \ln (5)) + x (\ln (16)) + x (- 2 \ln (5)) = 0$

Étape 5.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x \ln (16)) + x (- 2 x \ln (5))$ .

$x (x (\ln (16)) - 2 x \ln (5)) + x (\ln (16)) + x (- 2 \ln (5)) = 0$

Étape 5.6

Factorisez $x$ à partir de $x (x (\ln (16)) - 2 x \ln (5)) + x (\ln (16))$ .

$x (x \ln (16) - 2 x \ln (5) + \ln (16)) + x (- 2 \ln (5)) = 0$

Étape 5.7

Factorisez $x$ à partir de $x (x \ln (16) - 2 x \ln (5) + \ln (16)) + x (- 2 \ln (5))$ .

$x (x \ln (16) - 2 x \ln (5) + \ln (16) - 2 \ln (5)) = 0$

Étape 6

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (x (\ln (16) - 2 \ln (5)) + 1 (\ln (16) - 2 \ln (5))) = 0$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $\ln (16) - 2 \ln (5)$ .

$x ((\ln (16) - 2 \ln (5)) (x + 1)) = 0$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (\ln (16) - 2 \ln (5)) (x + 1) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 9

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 10

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (\ln (16) - 2 \ln (5)) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1$