Algèbre Exemples

$x^{2} - 4 x + 2 > 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 2 + \sqrt{2}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 2 - \sqrt{2}$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2 - \sqrt{2}$

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$

$x > 2 + \sqrt{2}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2 - \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2 - \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 2 > 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 2 > 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $- 2$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2 + \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2 + \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 2 > 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $14$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2 - \sqrt{2}$ Vrai

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ Faux

$x > 2 + \sqrt{2}$ Vrai

$x < 2 - \sqrt{2}$ Vrai

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ Faux

$x > 2 + \sqrt{2}$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 2 - \sqrt{2}$ ou $x > 2 + \sqrt{2}$

Étape 11