Algèbre Exemples

$5 - \frac{3}{a} < \frac{7}{a}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $a$ .

$(5 - \frac{3}{a}) a = \frac{7}{a} a$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez $(5 - \frac{3}{a}) a$ .

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 a - \frac{3}{a} a = \frac{7}{a} a$

Étape 2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{a}$ dans le numérateur.

$5 a + \frac{- 3}{a} a = \frac{7}{a} a$

Étape 2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 a + \frac{- 3}{a} a = \frac{7}{a} a$

Étape 2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 a - 3 = \frac{7}{a} a$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$5 a - 3 = \frac{7}{a} a$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 a - 3 = 7$

Étape 3

Résolvez $a$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$5 a = 7 + 3$

Étape 3.1.2

Additionnez $7$ et $3$ .

$5 a = 10$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $5 a = 10$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $5 a = 10$ par $5$ .

$\frac{5 a}{5} = \frac{10}{5}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 a}{5} = \frac{10}{5}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{10}{5}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $10$ par $5$ .

$a = 2$

Étape 4

Déterminez le domaine de $5 - \frac{10}{a}$ .

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{10}{a}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$a = 0$

Étape 4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $a$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$a < 0$

$0 < a < 2$

$a > 2$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $a < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $a < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$a = - 2$

Étape 6.1.2

Remplacez $a$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$5 - \frac{3}{- 2} < \frac{7}{- 2}$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $6.5$ n’est pas inférieur au côté droit $- 3.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < a < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < a < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$a = 1$

Étape 6.2.2

Remplacez $a$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$5 - \frac{3}{1} < \frac{7}{1}$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $2$ est inférieur au côté droit $7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $a > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $a > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$a = 4$

Étape 6.3.2

Remplacez $a$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$5 - \frac{3}{4} < \frac{7}{4}$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $4.25$ n’est pas inférieur au côté droit $1.75$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$a < 0$ Faux

$0 < a < 2$ Vrai

$a > 2$ Faux

$a < 0$ Faux

$0 < a < 2$ Vrai

$a > 2$ Faux

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < a < 2$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < a < 2$

Notation d’intervalle :

$(0, 2)$

Étape 9