Algèbre Exemples

$\frac{\frac{x^{2} + 4 x + 3}{2 x - 1}}{\frac{x^{2} + x}{2 x^{2} - 3 x + 1}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{2} + x}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{2} + x}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 (x) + 1}{x^{2} + x}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1$ plus $- 2$

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 1 - 2) x + 1}{x^{2} + x}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 1 x - 2 x + 1}{x^{2} + x}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x^{2} - 1 x) - 2 x + 1}{x^{2} + x}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{x (2 x - 1) - (2 x - 1)}{x^{2} + x}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 1)}{x^{2} + x}$

Étape 4

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 1)}{x \cdot x + x}$

Étape 4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 1)}{x \cdot x + x^{1}}$

Étape 4.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 1)}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Étape 4.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 1)}{x (x + 1)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $x (x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 1)}{(x + 1) x}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 1)}{(x + 1) x}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 1)}{x}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $2 x - 1$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 3}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 1)}{x}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$(x + 3) \frac{x - 1}{x}$

Étape 7

Multipliez $x + 3$ par $\frac{x - 1}{x}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 1)}{x}$