Algèbre Exemples

$f (x) = x {(x + 5)}^{2} (x + 3)$

Étape 1

Identifiez le degré de la fonction.

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Étape 1.1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(x + 5)}^{2}$ comme $(x + 5) (x + 5)$ .

$x ((x + 5) (x + 5)) (x + 3)$

Étape 1.1.2

Développez $(x + 5) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x (x + 5) + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) (x + 3)$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$x (x^{2} + 10 x + 25) (x + 3)$

Étape 1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.5.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Étape 1.1.5.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{1 + 2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Étape 1.1.5.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x^{3} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Étape 1.1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 25) (x + 3)$

Étape 1.1.5.3

Déplacez $25$ à gauche de $x$ .

$(x^{3} + 10 x \cdot x + 25 \cdot x) (x + 3)$

Étape 1.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.1

Déplacez $x$ .

$(x^{3} + 10 (x \cdot x) + 25 \cdot x) (x + 3)$

Étape 1.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 \cdot x) (x + 3)$

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$

Étape 1.1.7

Développez $(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 1.1.8

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.8.1.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 1.1.8.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 1.1.8.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 1.1.8.1.1.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 1.1.8.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$x^{4} + 3 \cdot x^{3} + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 1.1.8.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.8.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 1.1.8.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x^{1} x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 1.1.8.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{1 + 2} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 1.1.8.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 1.1.8.1.4

Multipliez $3$ par $10$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 1.1.8.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.8.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 (x \cdot x) + 25 x \cdot 3$

Étape 1.1.8.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 25 x \cdot 3$

Étape 1.1.8.1.6

Multipliez $3$ par $25$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Étape 1.1.8.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.1.8.2.1

Additionnez $3 x^{3}$ et $10 x^{3}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Étape 1.1.8.2.2

Additionnez $30 x^{2}$ et $25 x^{2}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 55 x^{2} + 75 x$

Étape 1.2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$4$

Étape 2

Le degré étant pair, les extrémités de la fonction ont la même direction.

Pair

Étape 3

Identifiez le coefficient directeur.

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Étape 3.1

Simplifiez le polynôme, puis remettez dans l’ordre de gauche à droite en commençant par le terme de degré le plus élevé.

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Étape 3.1.1

Réécrivez ${(x + 5)}^{2}$ comme $(x + 5) (x + 5)$ .

$x ((x + 5) (x + 5)) (x + 3)$

Étape 3.1.2

Développez $(x + 5) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x (x + 5) + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Étape 3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Étape 3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Étape 3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Étape 3.1.3.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Étape 3.1.3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) (x + 3)$

Étape 3.1.3.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$x (x^{2} + 10 x + 25) (x + 3)$

Étape 3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Étape 3.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Étape 3.1.5.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{1 + 2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Étape 3.1.5.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x^{3} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Étape 3.1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 25) (x + 3)$

Étape 3.1.5.3

Déplacez $25$ à gauche de $x$ .

$(x^{3} + 10 x \cdot x + 25 \cdot x) (x + 3)$

Étape 3.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.6.1

Déplacez $x$ .

$(x^{3} + 10 (x \cdot x) + 25 \cdot x) (x + 3)$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 \cdot x) (x + 3)$

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$

Étape 3.1.7

Développez $(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 3.1.8

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.8.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.8.1.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.8.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 3.1.8.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 3.1.8.1.1.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 3.1.8.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$x^{4} + 3 \cdot x^{3} + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 3.1.8.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.8.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 3.1.8.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.8.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x^{1} x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 3.1.8.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{1 + 2} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 3.1.8.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 3.1.8.1.4

Multipliez $3$ par $10$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Étape 3.1.8.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.8.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 (x \cdot x) + 25 x \cdot 3$

Étape 3.1.8.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 25 x \cdot 3$

Étape 3.1.8.1.6

Multipliez $3$ par $25$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Étape 3.1.8.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.8.2.1

Additionnez $3 x^{3}$ et $10 x^{3}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Étape 3.1.8.2.2

Additionnez $30 x^{2}$ et $25 x^{2}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 55 x^{2} + 75 x$

Étape 3.2

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$x^{4}$

Étape 3.3

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$1$

Étape 4

Comme le coefficient directeur est positif, le graphe monte vers la droite.

Positif

Étape 5

Utilisez le degré de la fonction et le signe du coefficient directeur pour déterminer le comportement.

1. Pair et positif : monte vers la gauche et monte vers la droite.

2. Pair et négatif : descend vers la gauche et descend vers la droite.

3. Impair et positif : descend vers la gauche et monte vers la droite.

4. Impair et négatif : monte vers la gauche et descend vers la droite

Étape 6

Déterminez le comportement.

Monte vers la gauche et monte vers la droite

Étape 7