Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} 4 & 3 & 9 \\ 3 & 2 & 7 \\ 1 & 4 & x \end{array}]$

Étape 1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne $3$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 1.3

Le mineur pour $a_{31}$ est le déterminant dont la ligne $3$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 7 \end{array} |$

Étape 1.4

Multipliez l’élément $a_{31}$ par son cofacteur.

$1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 7 \end{array} |$

Étape 1.5

Le mineur pour $a_{32}$ est le déterminant dont la ligne $3$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Étape 1.6

Multipliez l’élément $a_{32}$ par son cofacteur.

$- 4 | \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Étape 1.7

Le mineur pour $a_{33}$ est le déterminant dont la ligne $3$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 1.8

Multipliez l’élément $a_{33}$ par son cofacteur.

$x | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 1.9

Additionnez les termes entre eux.

$1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 7 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 3 & 7 \end{array} | + x | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 7 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (3 \cdot 7 - 2 \cdot 9) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 3 & 7 \end{array} | + x | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$1 (21 - 2 \cdot 9) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 3 & 7 \end{array} | + x | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$1 (21 - 18) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 3 & 7 \end{array} | + x | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Soustrayez $18$ de $21$ .

$1 \cdot 3 - 4 | \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 3 & 7 \end{array} | + x | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 3 & 7 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 3 - 4 (4 \cdot 7 - 3 \cdot 9) + x | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $4$ par $7$ .

$1 \cdot 3 - 4 (28 - 3 \cdot 9) + x | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$1 \cdot 3 - 4 (28 - 27) + x | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez $27$ de $28$ .

$1 \cdot 3 - 4 \cdot 1 + x | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 3 - 4 \cdot 1 + x (4 \cdot 2 - 3 \cdot 3)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$1 \cdot 3 - 4 \cdot 1 + x (8 - 3 \cdot 3)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$1 \cdot 3 - 4 \cdot 1 + x (8 - 9)$

Étape 4.2.2

Soustrayez $9$ de $8$ .

$1 \cdot 3 - 4 \cdot 1 + x \cdot - 1$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 - 4 \cdot 1 + x \cdot - 1$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$3 - 4 + x \cdot - 1$

Étape 5.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$3 - 4 - 1 \cdot x$

Étape 5.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$3 - 4 - x$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$- 1 - x$