Algèbre Exemples

$\frac{x - 5}{x^{4} - 2 x^{3}} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 3 x - 10}$

Étape 1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} - 2 x^{3}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x - 5}{x^{3} x - 2 x^{3}} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 3 x - 10}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{x - 5}{x^{3} x + x^{3} \cdot - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 3 x - 10}$

Étape 1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$ .

$\frac{x - 5}{x^{3} (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 3 x - 10}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x - 5}{x^{3} (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} - 2^{2}}{x^{2} - 3 x - 10}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{x - 5}{x^{3} (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} - 3 x - 10}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 5}{x^{3} (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 5) (x + 2)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 5}{x^{3} (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 5) (x + 2)}$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{3} (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $x^{3} (x - 2)$ .

$\frac{1}{(x - 2) x^{3}} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

Étape 4.2.2

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{1}{(x - 2) x^{3}} \cdot \frac{(x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x - 2) x^{3}} \cdot \frac{(x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Étape 4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{1}{x^{3}}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 2}{x^{3} (x + 2)}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 2}{x^{3} (x + 2)}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{3}}$