Algèbre Exemples

${(n p - 1)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(n p)}^{4 - k} \cdot {(- 1)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(n p)}^{4 - 0} \cdot {(- 1)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(n p)}^{4 - 1} \cdot {(- 1)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(n p)}^{4 - 2} \cdot {(- 1)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(n p)}^{4 - 3} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(n p)}^{4 - 4} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(n p)}^{4} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(n p)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(n p)}^{4}$ par $1$ .

${(n p)}^{4} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(n p)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $n p$ .

$n^{4} p^{4} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(n p)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$n^{4} p^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(n p)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.4

Multipliez $n^{4}$ par $1$ .

$n^{4} p^{4} + 4 \cdot {(n p)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.5

Appliquez la règle de produit à $n p$ .

$n^{4} p^{4} + 4 \cdot (n^{3} p^{3}) \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.6

Évaluez l’exposant.

$n^{4} p^{4} + 4 n^{3} p^{3} \cdot - 1 + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.8

Appliquez la règle de produit à $n p$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 \cdot (n^{2} p^{2}) \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} \cdot 1 + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.10

Multipliez $6$ par $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.11

Simplifiez

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} + 4 \cdot (n p) \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} + 4 n p \cdot - 1 + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.13

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.14

Multipliez ${(n p)}^{0}$ par $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.15

Appliquez la règle de produit à $n p$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + n^{0} p^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.16

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + 1 p^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.17

Multipliez $p^{0}$ par $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + p^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.18

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + 1 \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 4.19

Multipliez ${(- 1)}^{4}$ par $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + {(- 1)}^{4}$

Étape 4.20

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + 1$