Algèbre Exemples

$\frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$

Étape 1

Multipliez $\frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$ par $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$ par $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 1)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Étape 3

Développez $(3 + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1) + \sqrt{3} (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 1 + \sqrt{3} (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1}{2}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 + \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 + \sqrt{9} + \sqrt{3} \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 + \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 + 3 + \sqrt{3} \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.6

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 + 3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2

Additionnez $3 \sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 + 3 + 4 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$\frac{6 + 4 \sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $6 + 4 \sqrt{3}$ et $2$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (3 + 2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 + 2 \sqrt{3})}{2 (1)}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 + 2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{1}$

Étape 5.4.4

Divisez $3 + 2 \sqrt{3}$ par $1$ .

$3 + 2 \sqrt{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$3 + 2 \sqrt{3}$

Forme décimale :

$6.46410161 \dots$