Algèbre Exemples

$f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$ comme une équation.

$y = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(\frac{\sqrt[7]{y}}{10})}^{5} + 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[7]{y}}{10}$ .

$x = \frac{{\sqrt[7]{y}}^{5}}{10^{5}} + 1$

Étape 3.1.2

Réécrivez ${\sqrt[7]{y}}^{5}$ comme $\sqrt[7]{y^{5}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{10^{5}} + 1$

Étape 3.1.3

Élevez $10$ à la puissance $5$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{100000} + 1$

Étape 3.2

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{100000} + 1 = x$ .

$\frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{100000} + 1 = x$

Étape 3.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{y^{5}}$ comme $y^{\frac{5}{7}}$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} + 1 = x$

Étape 3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} - x = - 1$

Étape 3.4.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} = - 1 + x$

Étape 3.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $100000$ .

$100000 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} = 100000 (- 1 + x)$

Étape 3.6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.1.1

Annulez le facteur commun de $100000$ .

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Étape 3.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$100000 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} = 100000 (- 1 + x)$

Étape 3.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{5}{7}} = 100000 (- 1 + x)$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.1

Simplifiez $100000 (- 1 + x)$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{\frac{5}{7}} = 100000 \cdot - 1 + 100000 x$

Étape 3.6.2.1.2

Multipliez $100000$ par $- 1$ .

$y^{\frac{5}{7}} = - 100000 + 100000 x$

Étape 3.7

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{7}{5}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.8

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.1

Simplifiez ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

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Étape 3.8.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

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Étape 3.8.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.8.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.8.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.8.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.8.1.1.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.8.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.8.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.8.1.2

Simplifiez

$y = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[7]{x}}{10}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{5}}{10^{5}} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt[7]{x}}^{5}$ comme $\sqrt[7]{x^{5}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{10^{5}} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Étape 5.2.3.1.3

Élevez $10$ à la puissance $5$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{100000} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{100000}) + 100000 \cdot 1)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $100000$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{100000}) + 100000 \cdot 1)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + \sqrt[7]{x^{5}} + 100000 \cdot 1)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $100000$ par $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + \sqrt[7]{x^{5}} + 100000)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $- 100000 + \sqrt[7]{x^{5}} + 100000$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Additionnez $- 100000$ et $100000$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(0 + \sqrt[7]{x^{5}})}^{\frac{7}{5}}$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $0$ et $\sqrt[7]{x^{5}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {\sqrt[7]{x^{5}}}^{\frac{7}{5}}$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez ${\sqrt[7]{x^{5}}}^{\frac{7}{5}}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x^{5}}$ comme $x^{\frac{5}{7}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(x^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$

Étape 5.2.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}}$

Étape 5.2.4.2.3

Multipliez $\frac{5}{7}$ par $\frac{7}{5}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 5}}$

Étape 5.2.4.2.4

Multipliez $5$ par $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{35}{7 \cdot 5}}$

Étape 5.2.4.2.5

Multipliez $7$ par $5$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{35}{35}}$

Étape 5.2.4.2.6

Annulez le facteur commun de $35$ .

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Étape 5.2.4.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{35}{35}}$

Étape 5.2.4.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x$

Étape 5.2.4.2.7

Simplifiez

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}}}{10})}^{5} + 1$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1.1

Réécrivez ${(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$ comme ${({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{7}$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{7}}}{10})}^{5} + 1$

Étape 5.3.3.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5} + 1$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}}}{10}$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{{({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{10^{5}} + 1$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 5.3.3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{10^{5}} + 1$

Étape 5.3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{10^{5}} + 1$

Étape 5.3.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{- 100000 + 100000 x}{10^{5}} + 1$

Étape 5.3.3.3.2

Simplifiez

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{- 100000 + 100000 x}{10^{5}} + 1$

Étape 5.3.3.3.3

Factorisez $100000$ à partir de $- 100000 + 100000 x$ .

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Étape 5.3.3.3.3.1

Factorisez $100000$ à partir de $- 100000$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 \cdot - 1 + 100000 x}{10^{5}} + 1$

Étape 5.3.3.3.3.2

Factorisez $100000$ à partir de $100000 \cdot - 1 + 100000 x$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 (- 1 + x)}{10^{5}} + 1$

Étape 5.3.3.4

Élevez $10$ à la puissance $5$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 (- 1 + x)}{100000} + 1$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $100000$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 (- 1 + x)}{100000} + 1$

Étape 5.3.3.5.2

Divisez $- 1 + x$ par $1$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = - 1 + x + 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $- 1 + x + 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$