Algèbre Exemples

$\frac{3 a^{2} + a - 1}{a^{2} - 2 a + 1} - \frac{2 a^{2} - a + 2}{a^{2} - 2 a + 1}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 a^{2} + a - 1 - (2 a^{2} - a + 2)}{a^{2} - 2 a + 1}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 a^{2} + a - 1 - (2 a^{2}) - - a - 1 \cdot 2}{a^{2} - 2 a + 1}$

Étape 1.2.2

Simplifiez

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 a^{2} + a - 1 - 2 a^{2} - - a - 1 \cdot 2}{a^{2} - 2 a + 1}$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $- - a$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 a^{2} + a - 1 - 2 a^{2} + 1 a - 1 \cdot 2}{a^{2} - 2 a + 1}$

Étape 1.2.2.2.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{3 a^{2} + a - 1 - 2 a^{2} + a - 1 \cdot 2}{a^{2} - 2 a + 1}$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 a^{2} + a - 1 - 2 a^{2} + a - 2}{a^{2} - 2 a + 1}$

Étape 1.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.3.1

Soustrayez $2 a^{2}$ de $3 a^{2}$ .

$\frac{a^{2} + a - 1 + a - 2}{a^{2} - 2 a + 1}$

Étape 1.3.2

Additionnez $a$ et $a$ .

$\frac{a^{2} + 2 a - 1 - 2}{a^{2} - 2 a + 1}$

Étape 1.3.3

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{a^{2} + 2 a - 3}{a^{2} - 2 a + 1}$

Étape 2

Factorisez $a^{2} + 2 a - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a - 1) (a + 3)}{a^{2} - 2 a + 1}$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(a - 1) (a + 3)}{a^{2} - 2 a + 1^{2}}$

Étape 3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Étape 3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(a - 1) (a + 3)}{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 1$ .

$\frac{(a - 1) (a + 3)}{{(a - 1)}^{2}}$

Étape 4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1

Factorisez $a - 1$ à partir de ${(a - 1)}^{2}$ .

$\frac{(a - 1) (a + 3)}{(a - 1) (a - 1)}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 1) (a + 3)}{(a - 1) (a - 1)}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a + 3}{a - 1}$