Algèbre Exemples

$\frac{3}{2 x - 1} > \frac{- 5}{x}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{- 5}{x}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{3}{2 x - 1} - \frac{- 5}{x} > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{3}{2 x - 1} - \frac{- 5}{x}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{2 x - 1} - - \frac{5}{x} > 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $- - \frac{5}{x}$ .

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Étape 2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + 1 \frac{5}{x} > 0$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $\frac{5}{x}$ par $1$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + \frac{5}{x} > 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{3}{2 x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3}{2 x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x} > 0$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{5}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{3}{2 x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 x - 1) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{3}{2 x - 1}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x}{(2 x - 1) x} + \frac{5}{x} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{5}{x}$ par $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{3 x}{(2 x - 1) x} + \frac{5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(2 x - 1) x$ .

$\frac{3 x}{x (2 x - 1)} + \frac{5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x + 5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 5 (2 x) + 5 \cdot - 1}{x (2 x - 1)} > 0$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{3 x + 10 x + 5 \cdot - 1}{x (2 x - 1)} > 0$

Étape 2.6.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{3 x + 10 x - 5}{x (2 x - 1)} > 0$

Étape 2.6.4

Additionnez $3 x$ et $10 x$ .

$\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$13 x - 5 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Étape 4

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$13 x = 5$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $13 x = 5$ par $13$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $13 x = 5$ par $13$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{5}{13}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $13$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{13 x}{13} = \frac{5}{13}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{13}$

Étape 6

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = \frac{5}{13}$

$x = \frac{1}{2}$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 0, \frac{5}{13}, \frac{1}{2}$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x (2 x - 1) = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Étape 10.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 10.2.3

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.3.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 10.2.3.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 10.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 10.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 10.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 10.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (2 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{5}{13}$

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3}{2 (- 2) - 1} > \frac{- 5}{- 2}$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 0.6$ n’est pas supérieur au côté droit $2.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{5}{13}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{5}{13}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.19$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $0.19$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3}{2 (0.19) - 1} > \frac{- 5}{0.19}$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 4.83870967$ est supérieur au côté droit $- 26.31578947$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.44$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $0.44$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3}{2 (0.44) - 1} > \frac{- 5}{0.44}$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 25$ n’est pas supérieur au côté droit $- 11.\overline{36}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3}{2 (3) - 1} > \frac{- 5}{3}$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $0.6$ est supérieur au côté droit $- 1.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{5}{13}$ Vrai

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ Faux

$x > \frac{1}{2}$ Vrai

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{5}{13}$ Vrai

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ Faux

$x > \frac{1}{2}$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < \frac{5}{13}$ ou $x > \frac{1}{2}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x < \frac{5}{13} or x > \frac{1}{2}$

Notation d’intervalle :

$(0, \frac{5}{13}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 15