Algèbre Exemples

$\frac{w^{2} - 81}{4 w^{2} + 27 w - 7} \div \frac{w^{2} - 5 w - 36}{w^{2} + 11 w + 28}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{w^{2} - 81}{4 w^{2} + 27 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{w^{2} - 9^{2}}{4 w^{2} + 27 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = w$ et $b = 9$ .

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} + 27 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 7 = - 28$ et dont la somme est $b = 27$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $27$ à partir de $27 w$ .

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} + 27 (w) - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $27$ comme $- 1$ plus $28$

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} + (- 1 + 28) w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} - 1 w + 28 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w^{2} - 1 w) + 28 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{w (4 w - 1) + 7 (4 w - 1)} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 w - 1$ .

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Étape 4

Factorisez $w^{2} + 11 w + 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $28$ et dont la somme est $11$ .

$4, 7$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{w^{2} - 5 w - 36}$

Étape 5

Factorisez $w^{2} - 5 w - 36$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 36$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 9, 4$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{(w - 9) (w + 4)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $w - 9$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $w - 9$ à partir de $(w + 9) (w - 9)$ .

$\frac{(w - 9) (w + 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{(w - 9) (w + 4)}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(w - 9) (w + 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{(w - 9) (w + 4)}$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{w + 9}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{w + 4}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $w + 7$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $w + 7$ à partir de $(4 w - 1) (w + 7)$ .

$\frac{w + 9}{(w + 7) (4 w - 1)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{w + 4}$

Étape 6.2.2

Factorisez $w + 7$ à partir de $(w + 4) (w + 7)$ .

$\frac{w + 9}{(w + 7) (4 w - 1)} \cdot \frac{(w + 7) (w + 4)}{w + 4}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{w + 9}{(w + 7) (4 w - 1)} \cdot \frac{(w + 7) (w + 4)}{w + 4}$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{w + 9}{4 w - 1} \cdot \frac{w + 4}{w + 4}$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{w + 9}{4 w - 1}$ par $\frac{w + 4}{w + 4}$ .

$\frac{(w + 9) (w + 4)}{(4 w - 1) (w + 4)}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $w + 4$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(w + 9) (w + 4)}{(4 w - 1) (w + 4)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{w + 9}{4 w - 1}$