Algèbre Exemples

$\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{x^{2} - 1} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{x^{2} - 1^{2}} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 1 + 3}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 5

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 6

Pour écrire $\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 7

Pour écrire $- \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 1) {(x + 1)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1) (x + 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 8.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 8.3

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1} (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 8.6

Multipliez $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)} - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 2) (x + 1) - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Développez $(x + 2) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 1) + 2 (x + 1) - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Étape 10.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 2 (x + 1) - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Étape 10.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Étape 10.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 x + 2 \cdot 1 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 x + 2 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Étape 10.2.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 - 2 x - 2 \cdot - 1}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Étape 10.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 - 2 x + 2}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Étape 10.5

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 + 2}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Étape 10.6

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{x^{2} + x + 4}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$