Algèbre Exemples

$y = {(2 x - 1)}^{2} - 2$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = {(2 y - 1)}^{2} - 2$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme ${(2 y - 1)}^{2} - 2 = x$ .

${(2 y - 1)}^{2} - 2 = x$

Étape 2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

${(2 y - 1)}^{2} = x + 2$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$2 y - 1 = \pm \sqrt{x + 2}$

Étape 2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$2 y - 1 = \sqrt{x + 2}$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = \sqrt{x + 2} + 1$

Étape 2.4.3

Divisez chaque terme dans $2 y = \sqrt{x + 2} + 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \sqrt{x + 2} + 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.4.4

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$2 y - 1 = - \sqrt{x + 2}$

Étape 2.4.5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = - \sqrt{x + 2} + 1$

Étape 2.4.6

Divisez chaque terme dans $2 y = - \sqrt{x + 2} + 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.6.1

Divisez chaque terme dans $2 y = - \sqrt{x + 2} + 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.4.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.4.6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.4.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.4.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ et $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 2, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 2}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 2 \geq 0$

Étape 4.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 2$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 2, \infty)$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ .

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Étape 4.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ se trouve sur la plage de $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ est le domaine de $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5