Algèbre Exemples

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$ par $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$ par $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{20}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Développez $(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (5 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Étape 3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- \sqrt{5}$ par $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Étape 3.2.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{5}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{20}$

Étape 3.2.1.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{20}$

Étape 3.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{20}$

Étape 3.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{20}$

Étape 3.2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20}$

Étape 3.2.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20}$

Étape 3.2.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}$

Étape 3.2.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}$

Étape 3.2.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{1}}{20}$

Étape 3.2.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{20}$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5}{20}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $\sqrt{5}$ de $0$ .

$\frac{- \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}$

Étape 3.2.4

Additionnez $- \sqrt{5}$ et $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{20}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $4$ et $20$ .

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Étape 4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 (\sqrt{5})}{20}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Forme décimale :

$0.44721359 \dots$