Algèbre Exemples

$f (x) = \arcsin (\sin (x))$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\arcsin (\sin (x))$ supérieur ou égal à $- 1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sin (x) \geq - 1$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x \geq \arcsin (- 1)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x \geq - \frac{π}{2}$

Étape 2.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 2.4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 2.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.6.3

Associez les fractions.

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Étape 2.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 2.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

Étape 2.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 2.10.1.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (8) \geq - 1$

Étape 2.10.1.3

Le côté gauche $0.98935824$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.10.2

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Vrai

Étape 2.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\arcsin (\sin (x))$ inférieur ou égal à $1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sin (x) \leq 1$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x \leq \arcsin (1)$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2}$

Étape 4.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 4.4

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 4.4.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 4.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Étape 4.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 4.8.1.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (5) \leq 1$

Étape 4.8.1.3

Le côté gauche $- 0.95892427$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.8.2

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Vrai

Étape 4.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Étape 7

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : ${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ , pour tout entier $n$

Plage : $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Étape 8