Algèbre Exemples

$- x^{2} {(3 - x)}^{3} (x + 2) > 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

${(3 - x)}^{3} = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3

Définissez ${(3 - x)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez ${(3 - x)}^{3}$ égal à $0$ .

${(3 - x)}^{3} = 0$

Étape 3.2

Résolvez ${(3 - x)}^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $3 - x$ égal à $0$ .

$3 - x = 0$

Étape 3.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x^{2} {(3 - x)}^{3} (x + 2) > 0$ vraie.

$x = 0, 3, - 2$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(- 4)}^{2} {(3 - (- 4))}^{3} ((- 4) + 2) > 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $10976$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(- 1)}^{2} {(3 - (- 1))}^{3} ((- 1) + 2) > 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $- 64$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(2)}^{2} {(3 - (2))}^{3} ((2) + 2) > 0$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $- 16$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 7.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(6)}^{2} {(3 - (6))}^{3} ((6) + 2) > 0$

Étape 7.4.3

Le côté gauche $7776$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Faux

$0 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Faux

$0 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $x > 3$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 2 or x > 3$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (3, \infty)$

Étape 10