Algèbre Exemples

$\log_{4} (n) = \frac{1}{4} \log_{4} (81) + \frac{1}{2} \log_{4} (25)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\log_{4} (81)$ .

$\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{1}{2} \log_{4} (25)$

Étape 1.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\log_{4} (25)$ .

$\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$ par $4$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$ par $4$ .

$\log_{4} (n) \cdot 4 = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Déplacez $4$ à gauche de $\log_{4} (n)$ .

$4 \log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Étape 2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot (2 (2))$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \log_{4} (25) \cdot 2$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $\log_{4} (25)$ .

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $4 \log_{4} (n)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $\log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Simplifiez $2 \log_{4} (25)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + \log_{4} (25^{2})$

Étape 4.1.1.2

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + \log_{4} (625)$

Étape 4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81 \cdot 625)$

Étape 4.1.3

Multipliez $81$ par $625$ .

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (50625)$

Étape 5

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$n^{4} = 50625$

Étape 6

Résolvez $n$ .

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Étape 6.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$n = \pm \sqrt[4]{50625}$

Étape 6.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{50625}$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez $50625$ comme $15^{4}$ .

$n = \pm \sqrt[4]{15^{4}}$

Étape 6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$n = \pm 15$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$n = 15$

Étape 6.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$n = - 15$

Étape 6.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$n = 15, - 15$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{4} (n) = \frac{1}{4} \cdot \log_{4} (81) + \frac{1}{2} \cdot \log_{4} (25)$ vrai.

$n = 15$