Algèbre Exemples

$\cot (θ) + \tan (θ) = \sec (θ) \csc (θ)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\cot (θ) + \tan (θ)$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\cot (θ)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \tan (θ)$

Étape 2.2

Écrivez $\tan (θ)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 3

Additionnez des fractions.

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Étape 3.1

Pour écrire $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin (θ) \cos (θ)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ par $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ par $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

$\frac{\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 5.1

Réorganisez les termes.

$\frac{\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$ comme $\sec (θ) \csc (θ)$ .

$\sec (θ) \csc (θ)$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cot (θ) + \tan (θ) = \sec (θ) \csc (θ)$ est une identité