Algèbre Exemples

$\cos (θ) < 0$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ < \arccos (0)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$θ < \frac{π}{2}$

Étape 3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$θ = 3$

Étape 9.1.2

Remplacez $θ$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\cos (3) < 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 0.98999249$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$θ = 6$

Étape 9.2.2

Remplacez $θ$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\cos (6) < 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $0.96017028$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ Vrai

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Faux

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ Vrai

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{2} + 2 π n < θ < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11