Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - x - 12}{x + 5} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - x - 12 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x + 3) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 4, - 3$

Étape 7

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 4, - 3$

$x = - 5$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 4, - 3, - 5$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - x - 12}{x + 5}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - x - 12}{x + 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 5 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 3$

$- 3 < x < 4$

$x > 4$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 12}{(- 8) + 5} \geq 0$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 20$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4)}^{2} - (- 4) - 12}{(- 4) + 5} \geq 0$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $8$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - (0) - 12}{(0) + 5} \geq 0$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 2.4$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} - (6) - 12}{(6) + 5} \geq 0$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $1.\overline{63}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x \leq - 3$ ou $x \geq 4$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 5 < x \leq - 3 or x \geq 4$

Notation d’intervalle :

$(- 5, - 3] \cup [4, \infty)$

Étape 15