Algèbre Exemples

$\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{1}{x}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{x}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x}{(x + 2) (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 2) (x - 2) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{(x + 2) (x - 2)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 2) (x - 2) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 2) (x - 2) x} + \frac{(x + 2) (x - 2)}{x ((x + 2) (x - 2))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 2) (x - 2) x$ .

$\frac{x \cdot x}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{(x + 2) (x - 2)}{x ((x + 2) (x - 2))}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $x ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{x \cdot x}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{(x + 2) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x \cdot x + (x + 2) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + (x + 2) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.2

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x (x - 2) + 2 (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.3

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 6.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.3.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.3.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot x + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} - 4}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.5

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 4}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.6

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 4$ .

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Étape 6.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 4}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$