Algèbre Exemples

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 9 x + 18}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 6^{2}}{x^{2} + 9 x + 18}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x^{2} + 9 x + 18}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 9 x + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $9$ .

$3, 6$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{- 4}{3^{2} - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x$ .

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{x^{2} - 3^{2}}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Factorisez $4 x$ à partir de $24 x - 4 x^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $24 x$ .

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6) - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6) + 4 x (- x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 5.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (6) + 4 x (- x)$ .

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 5.2.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x (6 - x)$ .

$\frac{4 (- 1)}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 1}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{- 1}{(3 + x) (3 - x)}$ par $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (6 - x)}$ .

$\frac{- ((x + 3) (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $- (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 3) (- 1 (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (- 1 (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (x - 3)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x + 6}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{- 1 (x - 3)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$ par $\frac{(x + 6) (x - 6)}{x + 6}$ .

$\frac{- 1 (x - 3) ((x + 6) (x - 6))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x) (x + 6)}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun de $x + 6$ .

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Étape 5.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x - 3) ((x + 6) (x - 6))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x) (x + 6)}$

Étape 5.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (x - 3) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun à $x - 3$ et $3 - x$ .

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Étape 5.7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- x) - 3) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

Étape 5.7.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- x) - 1 (3)) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

Étape 5.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

Étape 5.7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (- x + 3) x (6 - x)}$

Étape 5.7.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (- x + 3) x (6 - x)}$

Étape 5.7.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (x - 6)}{(3 + x) x (6 - x)}$

Étape 5.8

Annulez le facteur commun à $x - 6$ et $6 - x$ .

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Étape 5.8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x) - 6)}{(3 + x) x (6 - x)}$

Étape 5.8.2

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x) - 1 (6))}{(3 + x) x (6 - x)}$

Étape 5.8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (6)$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (6 - x)}$

Étape 5.8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (- x + 6)}$

Étape 5.8.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (- x + 6)}$

Étape 5.8.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}{(3 + x) x}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 \cdot - 1}{(3 + x) x}$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{(3 + x) x}$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{(3 + x) x}$

Étape 7.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{1}{(3 + x) x}$ .

$- \frac{1}{x (3 + x)}$