Algèbre Exemples

$1$ et $- 4 i$

Étape 1

Les racines sont les points où le graphe croise l’axe des x $(y = 0)$ .

$y = 0$ aux racines

Étape 2

La racine sur $x = 1$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (1) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 1$

Étape 3

La racine sur $x = - 4 i$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (- 4 i) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x + 4 i$

Étape 4

La racine sur $x = 4 i$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (4 i) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 4 i$

Étape 5

Associez tous les facteurs en une équation unique.

$y = (x - 1) (x + 4 i) (x - 4 i)$

Étape 6

Multipliez tous les facteurs pour simplifier l’équation $y = (x - 1) (x + 4 i) (x - 4 i)$ .

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Étape 6.1

Développez $(x - 1) (x + 4 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x (x + 4 i) - 1 (x + 4 i)) (x - 4 i)$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x (4 i) - 1 (x + 4 i)) (x - 4 i)$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x (4 i) - 1 x - 1 (4 i)) (x - 4 i)$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (x^{2} + x (4 i) - 1 x - 1 (4 i)) (x - 4 i)$

Étape 6.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y = (x^{2} + 4 \cdot (x i) - 1 x - 1 (4 i)) (x - 4 i)$

Étape 6.2.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = (x^{2} + 4 x i - x - 1 (4 i)) (x - 4 i)$

Étape 6.2.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = (x^{2} + 4 x i - x - 4 i) (x - 4 i)$

Étape 6.3

Développez $(x^{2} + 4 x i - x - 4 i) (x - 4 i)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = x^{2} x + x^{2} (- 4 i) + 4 x i x + 4 x i (- 4 i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.4.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{2} x + x^{2} (- 4 i) + 4 x i x + 4 x i (- 4 i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{2 + 1} + x^{2} (- 4 i) + 4 x i x + 4 x i (- 4 i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x i x + 4 x i (- 4 i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 (x \cdot x) i + 4 x i (- 4 i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 4 x i (- 4 i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.3

Multipliez $4 x i (- 4 i)$ .

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Étape 6.4.1.3.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i - 16 x i i - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i - 16 x (i i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i - 16 x (i i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i - 16 x i^{1 + 1} - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i - 16 x i^{2} - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i - 16 x \cdot - 1 - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.6.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - (x \cdot x) - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.7

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Étape 6.4.1.8

Multipliez $- 4 i (- 4 i)$ .

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Étape 6.4.1.8.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x + 16 i i$

Étape 6.4.1.8.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x + 16 (i i)$

Étape 6.4.1.8.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x + 16 (i i)$

Étape 6.4.1.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x + 16 i^{1 + 1}$

Étape 6.4.1.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x + 16 i^{2}$

Étape 6.4.1.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x + 16 \cdot - 1$

Étape 6.4.1.10

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x - 16$

Étape 6.4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.4.2.1

Associez les termes opposés dans $x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x - 16$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x^{2} (- 4 i)$ et $4 x^{2} i$ .

$y = x^{3} - 4 i x^{2} + 4 i x^{2} + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x - 16$

Étape 6.4.2.1.2

Additionnez $- 4 i x^{2}$ et $4 i x^{2}$ .

$y = x^{3} + 0 + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x - 16$

Étape 6.4.2.1.3

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$y = x^{3} + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x - 16$

Étape 6.4.2.1.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $4 x i$ et $- 4 i x$ .

$y = x^{3} + 16 x - x^{2} + 4 i x - 4 i x - 16$

Étape 6.4.2.1.5

Soustrayez $4 i x$ de $4 i x$ .

$y = x^{3} + 16 x - x^{2} + 0 - 16$

Étape 6.4.2.1.6

Additionnez $x^{3} + 16 x - x^{2}$ et $0$ .

$y = x^{3} + 16 x - x^{2} - 16$

Étape 6.4.2.2

Déplacez $16 x$ .

$y = x^{3} - x^{2} + 16 x - 16$

Étape 7