Algèbre Exemples

$\frac{9 - 3 \sqrt{15}}{12 - 4 \sqrt{15}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{9 - 3 \sqrt{15}}{12 - 4 \sqrt{15}}$ par $\frac{12 + 4 \sqrt{15}}{12 + 4 \sqrt{15}}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{15}}{12 - 4 \sqrt{15}} \cdot \frac{12 + 4 \sqrt{15}}{12 + 4 \sqrt{15}}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{9 - 3 \sqrt{15}}{12 - 4 \sqrt{15}}$ par $\frac{12 + 4 \sqrt{15}}{12 + 4 \sqrt{15}}$ .

$\frac{(9 - 3 \sqrt{15}) (12 + 4 \sqrt{15})}{(12 - 4 \sqrt{15}) (12 + 4 \sqrt{15})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(9 - 3 \sqrt{15}) (12 + 4 \sqrt{15})}{144 + 48 \sqrt{15} - 48 \sqrt{15} - 16 {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(9 - 3 \sqrt{15}) (12 + 4 \sqrt{15})}{- 96}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $9 - 3 \sqrt{15}$ et $- 96$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $(9 - 3 \sqrt{15}) (12 + 4 \sqrt{15})$ .

$\frac{3 ((3 - \sqrt{15}) (12 + 4 \sqrt{15}))}{- 96}$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 96$ .

$\frac{3 ((3 - \sqrt{15}) (12 + 4 \sqrt{15}))}{3 (- 32)}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 ((3 - \sqrt{15}) (12 + 4 \sqrt{15}))}{3 \cdot - 32}$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 - \sqrt{15}) (12 + 4 \sqrt{15})}{- 32}$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun à $12 + 4 \sqrt{15}$ et $- 32$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $(3 - \sqrt{15}) (12 + 4 \sqrt{15})$ .

$\frac{4 ((3 - \sqrt{15}) (3 + \sqrt{15}))}{- 32}$

Étape 2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 32$ .

$\frac{4 ((3 - \sqrt{15}) (3 + \sqrt{15}))}{4 (- 8)}$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 ((3 - \sqrt{15}) (3 + \sqrt{15}))}{4 \cdot - 8}$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 - \sqrt{15}) (3 + \sqrt{15})}{- 8}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Développez $(3 - \sqrt{15}) (3 + \sqrt{15})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 + \sqrt{15}) - \sqrt{15} (3 + \sqrt{15})}{- 8}$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{15} - \sqrt{15} (3 + \sqrt{15})}{- 8}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{15} - \sqrt{15} \cdot 3 - \sqrt{15} \sqrt{15}}{- 8}$

Étape 3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{15} - \sqrt{15} \cdot 3 - \sqrt{15} \sqrt{15}}{- 8}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - \sqrt{15} \sqrt{15}}{- 8}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- \sqrt{15} \sqrt{15}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})}{- 8}$

Étape 3.2.1.3.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})}{- 8}$

Étape 3.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 + 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - {\sqrt{15}}^{1 + 1}}{- 8}$

Étape 3.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - {\sqrt{15}}^{2}}{- 8}$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 8}$

Étape 3.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 8}$

Étape 3.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - 15^{\frac{2}{2}}}{- 8}$

Étape 3.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 + 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - 15^{\frac{2}{2}}}{- 8}$

Étape 3.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 + 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - 15^{1}}{- 8}$

Étape 3.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9 + 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - 1 \cdot 15}{- 8}$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - 15}{- 8}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $15$ de $9$ .

$\frac{- 6 + 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{15}}{- 8}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $3 \sqrt{15}$ de $3 \sqrt{15}$ .

$\frac{- 6 + 0}{- 8}$

Étape 3.2.4

Additionnez $- 6$ et $0$ .

$\frac{- 6}{- 8}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $- 8$ .

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Étape 4.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{- 2 (3)}{- 8}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 4}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 4}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{4}$

Forme décimale :

$0.75$